2021-2021年高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题03 函数值域（最值）的求法（观察法等）.docxVIP

第03讲：函数值域（最值）的求法 (观察法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法) 【考纲要求】 1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的值域。 2、理解函数的最大值、最小值及其几何意义。 【基础知识】 一、函数值域的定义 函数值的集合叫做函数的值域。 二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。 三、常见函数的值域 3、反比例函数 SKIPIF 1 0 的值域为 SKIPIF 1 0 . 4、指数函数 SKIPIF 1 0 的值域为 SKIPIF 1 0 . 5、对数函数 SKIPIF 1 0 的值域为R. 6、幂函数 SKIPIF 1 0 的值域为R，幂函数 SKIPIF 1 0 的值域为 SKIPIF 1 0 。 7、正弦函数 SKIPIF 1 0 、余弦函数 SKIPIF 1 0 的值域为 SKIPIF 1 0 ，正切函数 SKIPIF 1 0 的值 域为R，余切函数 SKIPIF 1 0 的值域为R. 四、求函数的值域常用的方法 求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法等。 五、函数的值域一定要用集合或区间来表示。 六、函数的值域和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值。 【方法讲评】 方法一 观察法 使用情景 函数的解析式主要是一些简单的特殊的函数组成。 解题步骤 利用这些特殊函数的性质，结合不等式推导函数的值域。 例1 求函数的值域。 解：∵ 故函数的值域是： 方法二 分离常数法 使用情景 函数是对称的分式函数 SKIPIF 1 0 。 解题步骤 一般先利用分式的除法将分式分离成一个常数和一个分式函数，再求函数的值域。 例2 求函数 SKIPIF 1 0 的值域。 解： SKIPIF 1 0 ∵ SKIPIF 1 0 ∴ SKIPIF 1 0 即函数的值域是 { y| y?R且y?1} 例3 求函数的值域。 解：将函数配方得： ∵ 由二次函数的性质可知： 当 SKIPIF 1 0 =1时，， 当时， 故函数的值域是[4，8] 【点评】对于二次函数，常用配方法求函数的值域。先配方，再利用二次函数的图像和性质求函数的值域。 【变式演练3】 求函数 SKIPIF 1 0 的值域。 方法四 反函数法 使用情景 已知函数比较容易求反函数。 解题步骤 先求已知函数的反函数，再求反函数的定义域，最后利用反函数的定义域就是原函数的值域关系得到原函数的值域。 例4 求函数 SKIPIF 1 0 的值域。 解： SKIPIF 1 0 反解得 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 因为反函数 SKIPIF 1 0 的定义域为 SKIPIF 1 0 ，反函数的定义域即是原函数的值域，所以原函数的值域为 SKIPIF 1 0 方法五 换元法 使用情景 函数的解析式结构较复杂，函数的变量较多且相互关联。 解题步骤 一般先引进一个新元代替旧元，再求新函数的值域。 例5 求函数的值域。 例6 已知x满足不等式 SKIPIF 1 0 . （1）求 SKIPIF 1 0 的取值范围； （2）求函数 SKIPIF 1 0 的最小值。 解：（1） SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 例7 求函数，的值域。 解： 令，则 例8 已知 SKIPIF 1 0 是圆 SKIPIF 1 0 上的点，试求 SKIPIF 1 0 的值域。 解：由题得 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 2p)则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 p)即 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 所以函数的值域为 SKIPIF 1 0 【点评】当