2021-2021年高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题19 二面角的求法.docxVIP

第19讲：二面角的求法 【考纲要求】 能用向量的方法解决二面角的计算问题。 【基础知识】 一、二面角的定义 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角. 二、二面角的范围 规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为 SKIPIF 1 0 ，当两个半平面合成一个平面时，二面角为 SKIPIF 1 0 ，因此，二面角的大小范围为 SKIPIF 1 0 . 三、二面角的求法 方法一：（几何法）找 SKIPIF 1 0 作（定义法、三垂线法、垂面法） SKIPIF 1 0 证（定义） SKIPIF 1 0 指 SKIPIF 1 0 求（解三角形） 方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量 SKIPIF 1 0 ；再代入公式 SKIPIF 1 0 （其中 SKIPIF 1 0 分别是两个平面的法向量， SKIPIF 1 0 是二面角的平面角。）求解。（注意先通过观察二面角的大小选择“ SKIPIF 1 0 ”号） 四、求二面角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答。 例1 如图所示，过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a， 求:（1）二面角B—PC—D的大小；（2）平面PAB和平面PCD所成二面角的大小. 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴BD⊥PC（三垂线定理） 在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED， 从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B—PC—D的平面角. 在Rt△PAB中，由PA=AB=a，得PB= SKIPIF 1 0 a.∵PA⊥平面ABCD，BC⊥AB， ∴BC⊥PB（三垂线定理）∴PC= SKIPIF 1 0  在Rt△PBC中，BE= SKIPIF 1 0 同理DE= SKIPIF 1 0 . 在△BDE中，根据余弦定理，得cos∠BED= SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . ∴∠BED=120°，即二面角B—PC—D的大小为120°. （2）过P作PQ∥AB，则PQ SKIPIF 1 0 平面PAB.∵AB∥CD，∴PQ∥CD，PQ SKIPIF 1 0 平面PCD. ∵PA⊥AB，∴PA⊥PQ∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD. ∴CD⊥PD即QP⊥PD，则∠APD即为所求的二面角， ∵PA=AD=a,PA⊥AD，∴∠APD=45°即所求的二面角的大小为45°. 图（1） SKIPIF 1 0 =2，DE=3.现将△ABC沿DE折成直二面角.求：（1）异面直线AD与BC的距离；（2）二面角A—EC—B的大小。 图（1） 方法二 向量法 使用情景 二面角的平面角不易作出来。 解题步骤 SKIPIF 1 0 建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 0 求出两个平面的法向量 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 代入公式 SKIPIF 1 0 （其中 SKIPIF 1 0 分别是两个平面的法向量， SKIPIF 1 0 是二面角的平面角。）求解。（注意先通过观察二面角的大小选择“ SKIPIF 1 0 ”号） 例2　已知四棱锥 SKIPIF 1 0 的底面为直角梯形， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 底面 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中点． 证明：面 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 ； 求 SKIPIF 1 0 与 SKIP