2008第一届一阶段优秀一阶段1688.pdf

数学中国教师交流群 数学中国官方微博：/304456943 报名号#1688  飞机对战游戏 一、问题重述 在游戏前双方各准备一张坐标纸，在上面分别制作7×7 的方格，如图 1 所 示。在自己的方格中画一架飞机，飞机呈“士”字形，其中上面的一长横占 5 个格子，下面的短横占 3个格子，一竖占4 个格子，最上面突出的一个格子代表 机头。所画飞机的位置以及机头的指向由游戏者自己决定，游戏结束前双方不能 互看对有一种在学生中间比较流行的双方对战游戏方的坐标纸。 游戏时双方交替 用“炮弹”打击对方，攻击的一方报告“炮弹”打击的位置，被攻击的一方报告 是否命中飞机。例如：被攻击方的飞机画法如图1 所示，攻击者报告“炮弹” 的 打击位置是（4，3） ，从图中可知， “炮弹”恰好落在飞机所在的红色格子上面， 被攻击方报告飞机被击中， 接下来刚才的被攻击方变成攻击方进行上面的攻击步 骤，双方交替攻击对方，如果某一方被命中机头，游戏结束，被命中机头的一方 失败。游戏双方都在通过打击后对方的反馈信息来猜测对方飞机的位置。 游戏比赛采用19 局10 胜制。 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 问题一：设计一个人机对战的“飞机对战”游戏。要求先由计算机进行攻击， 以 取胜为目标，给出进行游戏的策略。 问题二：考虑在9×9 坐标纸上画两架飞机的游戏方式，两架飞机所占的格子不 能重合，游戏方法同上。其中一架飞机被命中机头时要报告有一架飞机被击落。 当某方的两架飞机都被击落时游戏结束，被击落方失败。分析这种游戏方式与只 画一架飞机的游戏方式在策略上的不同点。 问题三：如果将问题二中的游戏方式设计为一个网络游戏，由三个真人对战， 三 人轮流作为攻击方，攻击方可以选择另外两方之一作为攻击对象，每次只能发射 一发“炮弹” 。如果某一方的两架飞机均被击中，他将退出这一局游戏，另外两 方仍将继续游戏直到二者决出胜负。打中机头可以得1 分，打中机头并把被攻击 方踢出局可以得3 分，打中飞机其它部位或者未击中不得分，比赛采用 18 局， 最后总得分（累加每局得到的分数）最高的一方获胜，如果出现平分，加赛一局 决定胜负。考虑每局都首先由你作为攻击方，设计一套游戏策略，使你能在比赛 1  数学中国YY网校频道：159214 数学中国数学中国公众微信平台：shuxuezhongguo 数学中国教师交流群 数学中国官方微博：/304456943 报名号#1688  中取胜。 注：假定游戏中，不存在任意两方联合的可能。 二、问题简析 §问题一： 为了使计算机获胜，则应该使打击获得的效益最大。本题的关键是建立决策 树。 如果计算机的策略是在某步中选择打击 7*7 个方格中可能出现机头的概率 最大的点，则在该步下获胜的概率最大，下一步得到3 种反馈——获胜、仅击中 机身以及未击中机身。获胜则游戏结束，若未获胜则根据将所有的飞机分为 2 类： A 打击的点在飞机上，且打击点不是机头； B：打击的点不在飞机上。 若仅击中机身，则在A 类飞机中寻找机头出现概率最大的点，作为下次的击 打目标。同样的，若未击中机身，则在 B 类飞机中寻找机头出现概率最大的点，