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分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于
简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题
在高考试题中占有重要位置，在选择题、填空题、解答题中都会涉及到分类讨
论的思想方法，其难度在 0.4 ～0.6 之间 .
考试要求： 《考试说明》强调，对于数学思想和方法的考查要与数学知识的
考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握
的程度．考查时，要从学科整体意识和思想含义上立意，注意通性通法，淡化
特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握
程度．
题型一 由概念引起的分类讨论
2
例 1. 平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 与抛物线 y 2x 相交于 A 、 B 两点．
l T (3,0)
求证：“如果直线 过点 ，那么 OA OB 3 ”是真命题 .
点拨： （1）联立直线和抛物线，根据向量数量积定义，利用根与系数的关系，
可求得 OA OB 3 ；（2 ）设直线方程时须考虑直线斜率是否存在 .
2
证明： 设过点 T (3,0) 的直线 l 交抛物线 y 2x 于点 A(x , y ), B(x , y ) .
1 1 2 2
（1）当直线 l 的钭率不存在时 , 直线 l 的方程为 x 3 , 此时 , 直线 l 与抛物线相交
于 A(3, 6), B(3, 6) . ∴OA OB 3 .
（2）当直线 l 的斜率存在时 , 设过点 T (3,0) 的直线 l 的方程为 y k (x 3) ，
2
y 2x 2
由 得 ky 2 y 6k 0 y y 6
1 2
y k (x 3)
又 ∵x 1 y2 , x 1 y2 ， ∴OA OB x x y y 1 ( y y )2 y y 3 ，
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 4
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