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【本文作者】
姓 名:杨苍洲
工作单位:福建省惠安高级中学
姓 名:郑鹏宇
工作单位:福建省福州格致中学?
2010年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.的值等于( )
A. B. C. D.
2.以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A. B. C. D.
3.设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于
A.6 B.7 C.8 D.9
4.函数的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C
5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的值等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.如图,若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体,其中E为线段上异于的点,F为线段上异于的点,且∥,则下列结论中不正确的是( )
A. ∥ B.四边形是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台
7.若点和点分别是双曲线的中心和左焦点,点为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
8.设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )
A. B.4 C. D.2
9.对于复数a,b,c,d,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.i
10.对于具有相同定义域D的函数和,若存在函数为常数),对任给的正数m,存在相应的,使得当且时,总有,则称直线为曲线和的“分渐近线”.给出定义域均为D=的四组函数如下:
①, ; ②,;
③,; ④,.
其中, 曲线和存在“分渐近线”的是( )
A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④
第Ⅱ卷
二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题4分,共20分).
11.在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 .
12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 .
13.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 .
14.已知函数和的图象的对称轴完全相同.若,则的取值范围是 .
15.已知定义域为的函数满足:①对任意,恒有成立;当时,.给出如下结论:
①对任意,有;②函数的值域为;③存在,使得;④“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在,使得
”.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共80分)
16.(本小题满分13分)
设是不等式的解集,整数.
(1)记使得“成立的有序数组”为事件A,试列举A包含的基本事件;
(2)设,求的分布列及其数学期望.
17.(本小题满分13分)
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直线,使得直线与椭圆C有公共点,且直线OA与的距离等于4?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
18.(本小题满分13分)
如图,圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O直径.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)设AB=,在圆柱内随机选取一点,记该点取自于三棱柱内的概率为.
(i)当点C在圆周上运动时,求的最大值;
(ii)记平面与平面所成的角为,当取最大值时,求的值.
19.(本小题满分13分)
.,轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处,并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度
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