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解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣 ,其中包含着丰富的数学思想。 解决涂色问题方法技巧 性强且灵活多变,故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能 力,有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题
1、根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只涂一种
颜色,相邻部分涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种?
6个区域,且相邻两个区域不(4)③与⑤同色、②与④同色,则有
6个区域,且相邻两个区域不
(4)③与⑤同色、②
与④同色,则有 A4 ;( 5)②与④同色、③与⑥同色,则有
分析:先给①号区域涂色有 5种方法,再给②号涂色有 4种方法,接着给③号涂色方 法有3种,由于④号与①、②不相邻,因此④号有 4种涂法,根据分步计数原理,不同的 涂色方法有5 4 3 4 240
2、根据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种出各种情形的种数,再用加法原理 求出不同的涂色方法种数。
例2、( 2003江苏卷)四种不同的颜色涂在如图所示的 能同色。
分析:依题意只能选用 4种颜色,要分四类:
TOC \o 1-5 \h \z ②与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ;
③与⑤同色、④与⑥同色,则有 A ;
②与⑤同色、③与⑥同色,则有 A4 ;
215
2
1
5
所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 A4 =120
例3、(2003年全国高考题)如图所示,一个地区分为 5个行政区域,现给地图着色,要
求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种?
分析:依题意至少要用 3种颜色
当先用三种颜色时,区域 2与4必须同色,
3
区域3与5必须同色,故有A4种;
3) 当用四种颜色时,若区域 2与4同色,
4) 贝U区域3与5不同色,有A5)两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为 A5,因此,所求的涂法种数为 A 2C1A2 A 2604、根据相间区使用颜色的种类分类例
5)两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为 A5,
因此,所求的涂法种数为 A 2C1A2 A 260
4、根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图,6个扇形区域A、B、C、D、E、F,现给这6个区域着色,要求同一
区域涂同一种颜色,相邻的两个区域不得使用同一种颜色,现有
可Ai解(1)当相间区域 A、C、E着同一种颜色时,
有4种着色方法,此时,B、D、F各有3种着色方法, 此时,B、D、F各有3种着色方法故有 4 3 3 3 108
种方法。
F各有2种着色方法。此时共有 A4 2 2 2 192种方法。
4 4
有A4种,故用四种颜色时共有 2 A4种。由加法原理可知满足题意的着色方
法共有 A +2 A =24+2 24=72
3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,分别计算出两种情形的种数,再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一 种颜色,相邻两个区域涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同
的涂色方法?
分析:可把问题分为三类:
(1) 四格涂不同的颜色,方法种数为 a5 ;
(2) 有且仅两个区域相同的颜色,即只
有一组对角小方格涂相同的颜色,涂法种数为
1 2
(2)当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时,2 2有C3A
(2)当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时,
2 2
有C3A4种着色方法,此时B、
D、F有3 2 2种着色方法,故共有
2 2
C3A4 3 2 2 432种着色方法。
3
(3)当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有 A种着色方法,此时B、D、故总计有108+432+192=732种方法。
说明:关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
AiA2AAnAL如:如图,把一个圆分成 n(n
Ai
A2
A
An
A
L
色之一染色,要求相邻扇形不同色,有多少种染色方法?
解:设分成n个扇形时染色方法为 an种
(1) 当 n=2 时 A、A2有 A 若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 =12 种,即 a2=12
若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点
(2) 当分成n个扇形,如图,几与A2不同色,A与A 不同色,L,An 1
与An不同色,共有4 3n1种染色方法,但由于An与A1邻,所以应排除An与A
同色的情形;An与A同色时,可把An、 A看成一个扇形,与前n 2个扇形加在一起为
n 1个扇形,此时有an 1种染色法,故有如下递推关系:
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