2021数项级数的概念和性质.ppt

一、复数的概念及表示 （一）复数的概念 设 x , y 为两个任意实数，称形如 x+iy 的数为 复数 。 实数 x 和 y 分别称为复数 z 的实部和虚部，记为： x=Re(z) y=Im(z) 各数集之间的关系是： 一、复数的概念及表示 （一） 复数的几何表示 1. 平面上的点表示复数 复数 z=x+iy 数对 x 、 y 点 P （ x ， y ） 复数和 xoy 平面上的点一一对应。 y y z=x+iy P （ x ， y ） O x x 一、复数的概念及表示 （二） 复数的几何表示 2. 平面向量表示复数 复数 z=x+iy 数对 x 、 y 点 P （ x ， y ） 向量 OP 复数和平面向量一一对应。 y y z=x+iy P （ x ， y ） O x x 一、复数的概念及表示 （三） 复数表达方式 1. 复数的模和辐角 （ 1 ）复数的模 2 y y z=x+iy P （ x ， y ） r θ O x x 表示复数 z 的向量 O P 的长度称为复数 z 的 模 。 记作 | z | 或 r 。 | z | ? x ? y 2 （ 2 ）复数的辐角 以正实轴为始边，以表示复数 z 的向量 OP ，为终边 所成的角 θ 称为复数 z 的 辐角 。 记作 Arg ( z ) 一、复数的概念及表示 （三） 复数的表达方式 1. 复数的模和辐角 （ 3 ）复数的辐角主值 的 辐角主值 ，记作 y y z=x+iy P （ x ， y ） r ） θ x x O 复数 z 的辐角并不唯一 , 属于 [- π , π ] 的 辐 角 称为复数 z arg( z ) Arg ( z ) ? 2 k ? ? arg( z ) ( k ? 0 , ? 1 , ? 2 , ? ) 一、复数的概念及表示 （三） 复数的表达方式 2. 复数的三种表达形式 （ 1 ）代数式（一般式）： z ? x ? y i （ 2 ）三角式： （ 3 ）指数式： z ? r (cos ? ? i sin ? ) z ? re i ? 其中 r 是复数 z 的模， θ 是复数 z 的辐角。 一、复数的概念及表示 例 1 计算 z= e iπ 例 2 已知 Re (z ） = － 1 ， Im (z) = 3 , 试用三角式和指数式表示复数 z 。 例 3 试将 z 1 =2i, z 2 =3 , z 3 =-1, z 4 =-2i 表示成三角表示式和指数表示式。 二、复数的运算 （一） 复数的代数式运算 设复数 z 1 ? x 1 ? y 1 i ， z 2 ? x 2 ? y 2 i ，则 加、减法 : 乘 法 : 除 法 : z 1 ? z 1 ? ( x 1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) i z 1 ? z 1 ? ( x 1 x 2 ? y 1 y 2 ) ? ( x 1 y 2 ? x 2 y 1 ) i z 1 x 1 x 2 ? y 1 y 2 x 2 y 1 ? x 1 y 2 ? ? i 2 2 2 2 z 2 x 2 ? x 2 x 2 ? x 2 复数的加、减、乘的运算与多项式的运算方法是一致的， 除法运算可先将分子、分母同乘以一个复数（分母的共轭复数） 将分母转化为实数，分子再相乘。 二、复数的运算 （一） 复数的代数式运算 复数运算具有加法、乘法的交换律与结合律，具有 乘法对加法的分配律。 共轭复数的运算性质 ： (1) z ? z (2) z 1 ? z 2 ? z 1 ? z 2 (5) z ? z ? [Re( z )] ? [Im( z )] 2 2 (2) z 1 ? z 2 ? z 1 ? z 2 (4) z ? z ? z ? z 1 2 1 2 二、复数的运算 （三） 复数三角式的运算 设复数 z 1 ? r 1 (cos ? 1 ? i sin ? 1 ) ， z 2 ? r 2 (cos ? 2 ? i sin ? 2 ) 乘 法 : z 1 ? z 2 ? (