电动力学 崔元顺.docx

PAGE PAGE 1 电动力学的数学基础 一. 矢量场论 1. 矢量代数 混合积的轮换： 三重叉积的展开： 2. 梯度、散度和旋度 ① 定义 , 或 , 为标量场。 ， 通量定义。 ， 环流定义。 为矢量场 。 ②算符以及梯度、散度和旋度的表示（） 直角坐标系中： 用表示梯度、散度和旋度： 算符的性质：矢量性——矢算符，按矢量运算规则。 微分性——微分运算，按求导规则。 ③ 一些定理： 标量场的梯度无旋度：。 或曰：无旋场必可表为标量场之梯度，即 若，则 矢量场的旋度无散度：。 或曰：无源场必可表为另一矢量的旋度，即 若，则 显见以上为纵场， 为横场。 ④ 积分变换公式： ， ， 。 ⑤ 的直角坐标系、球坐标系及柱坐标系表示 直角系中的表示： 球系中的表示： 单位矢，变量 立体角 柱系中的表示： 单位矢,变量 3. 算子的运算规则及公式 ①一次作用 梯度： 散度： 旋度： 混合： ②二次作用 直角系： 球系： 柱系： —Laplace算符，标算符，有的书上记为：. ③ 复合作用 设，而则 ④ 对和的运算 ， 位置矢量： 则有 。 4. 唯一的确定矢量场的条件 值得指出，在静电学中我们有时仅用高斯定理就能把场确定下来，这里必定加上另外信息，如具有某种对称性等，否则不可。 在静磁学中也如此，只当问题具有某种对称性时，单用环路定理可以定出磁场。 二. 并矢代数和张量分析 1. 并矢 ① 定义 两矢量并列不作任何运算：，含九个分量；例如 则： 注意：一般地。 ②单位并矢及其运算 ； 。 2. 张量分析 三、拉普拉斯方程的分离变量解 拉普拉斯方程: 球系的形式： 通解为： 式中为待定系数，为缔合勒让德函数。 ①具有轴对称性时 当问题具有轴对称性时，电势与方位角无关，则通解为(令m=0)： 式中为待定系数，为勒让德函数。 ②具有球称性时 当问题具有球对称性时，电势仅与有关，则通解(令n=0)为： 其中a , b为待定系数。 四、其他 1、全积分的圈积分为0，例如 2、面积元的积分表示 3、多元函数的泰勒展开 设函数在点附近连续，则级数展开为 4、关于波动方程—达朗贝尔方程的解 的解具有形式： 作业：（1）查阅《数学物理方法》相关内容； （2）P45：ex.3、6。 第一章 电磁现象的普遍规律 本章承上启下的作用，前承电磁学，启下于电动力学，多用微分 学方法定量研究电磁问题。是全课程的一种概述，以后各章分述，所用为“场论”方法。 §1. 电荷和电场 一、库仑定律 1、定律内容 强调：真空，点电荷，静止。 2、场强 。 叠加原理： ① 分立分布时 ② 连续分布时 积分公式中，在各种坐标系中计算要会取dV。 ，见以下内容。 二、高斯定理和电场的散度 1、点电荷情况： 。是元立体角。 ∴ 。 2、点电荷组或连续分布情况： 3、微分形式： 依据奥-高积分变换公式：， ∴转换成： ， ∵V任意， ∴给出高斯定理的微分形式为： 意义说明： (1) (2) (3) 三、静电场的旋度 确定一个矢量场需 1、点电荷 ∵（全微分） ∴ 2、一般分布电荷 用场叠加原理，可得 。 3、微分形式 运用斯托克斯公式：， ∵S任意， ∴的微分式为 例题1：。 ①问题具有球对称性，分区运用高斯定理，可求出为： ②计算（运用球坐标系） ∵ ∴ 反映出散度的局域性质；验证了定理。 讨论： §2. 电流和磁场 一、电荷守恒定律 1、I和的关系 2、和的关系 3、电荷守恒定律 《电磁学》中给出电荷守恒定律的积分形式：（结合模型、阐述意义） 依据奥-高积分变换公式，仿效§1中得到的过程，给出电荷守恒定律的微分形式： 4、稳恒电流条件 表明：稳恒电流是闭合的（因而稳恒电路应是闭合的）。 二、毕奥—萨伐尔定律 1、安培力 2、稳恒电流激发的规律 在《电磁学》中，给出毕奥—萨伐尔定律为 而 ∴ 三、磁场环流和旋度 1、安培环路定理 《电磁学》中给出安培环路定理的积分形式： 若安培环路内无电流，则之环流为零。 2、的旋度 运用斯托克斯公式，仿效§1中得到的过程，给出安培环路定理的微分形式： 表明：磁场是涡旋场。 四、磁场的散度 1、磁场无源（高斯定理） 2、微分形式 讨论： （1）表明：磁场无散度（无源场）。 （2）在数学上，散度为零的矢量场可以表示成另一矢量场的旋度，即 ∵ ∴ 其中——磁矢势。 **** **** **** **** **** **** 五、理论证明： 推导线路： 其中： [注意] ； ： ①计算 ，有 其中第一项因为： =0（无电流流出）； 第二项因为用稳恒电流条件也