时间序列分析方法--第4章-预测汇总.docx

时间序列分析方法讲义 第3 时间序列分析方法讲义 第3章预测 PAGE PAGE # 第三章预测 预测是经济分析的重要内容， 也是经济计量模型的主要功能。 在本章中，我们主要讨论 预测的一般概念和方法，然后分析利用 ARMA( p, q)模型进行预测的问题。 § 3.1预期的基本原理 利用各种条件对某个变量下一个时点或者时间阶段内取值的判断是预测的重要情形。 为 此，需要了解如何确定预测值和度量预测的精度。 3.1.1基于条件数学预期的预测 假设我们可以观察到一组随机变量 X t的样本值，然后利用这些数据预测随机变量 Yt .1 的值。特别地，一个最为简单的情形就是利用 Yt的前m个样本值预测Yt d，此时Xt可以描 述为： Xt 二MYMm} 假设Yt*^表示根据Xt对于Yt 1作出的预测。那么预测效果如何呢？我们需要利用损失 函数度量预测效果的好坏。假设预测与真实值之间的偏离作为损失， 则简单的二次损失函数 可以表示为(该度量也称为预测的均方误差 )： MSE(Yt*^t^E(Yt+ -Y^^t)2 定理3.1使得预测均方误差达到最小的预测是给定 Xt时，对Yt -的条件数学期望，即： —t =E(Yt.1|XJ 证明：假设基于Xt对Y卅的任意预测值为： Yt*1it 二g(xj 则此预测的均方误差为： MSECG =E[Yt 1 -g(Xt)]2 对上式均方误差进行分解，可以得到： MSE(Y；1|t)二E{[Yt1 -E(Yt1 |XJ] [E(Yt d | Xt) - g(XJ]} 2 二 E[Yt1 -E(Yt1|Xt)]2 [E(Yt 1 |X』-g(Xt)]2 2E{[Yt1 -E(Yt1|Xt)][E(Yt1|Xt)-g(Xt)]} 其中交叉项的数学期望为(利用数学期望的叠代法则 )： E{[Yt 1 -E(Yt 1 |Xt)][E(Yt 1 |Xt) -g(Xt)]} =0 因此均方误差为： MSEMut)二 E[Yt 1 -E(Yt1 |Xt)]2 [ E(Yt ! | Xt g(Xt )]2 为了使得均方误差达到最小，则有： g(XJ 二E(Yt1|Xt) 此时最优预测的均方误差为： MSEMnJ 二E[Y「-E(Yt1|Xt)]2 3.1.2基于线性投影的预测 由于上述条件数学期望比较难以确定， 因此将预测函数的范围限制在线性函数中， 我们 考虑下述线性预测： Yt*1|t 八 Xt 定义3.1如果我们可以求出一个系数向量值 〉，使得预测误差(V, 4 -〉Xt)与Xt不 相关： E[(Yt Xt)XJ=O 则称预测:Xt为Yt i基于Xt的线性投影。 定理3.2在所有线性预测中，线性投影预测具有最小的均方误差，因此线性投影是线 性预测类中的“最优”预测。 证明：假设g Xt是任意一个线性预测，则对应的均方误差可以分解为： MSE =E[Yt i —g Xt” 二E[Yt X^ : Xt -g Xt]2 = E(Y i - ： XJ2 EC X^g Xt)2 2E[(Yt i「XJC Xt -g Xt)] 由于〉Xt是线性投影，则有： E[(Yti -: XJC Xt -g XJ] =E[(Yti -: Xt)Xt](： -g)=0 因此均方误差为： MSE =E(Yt i -: Xt)2 E(: Xt -g Xt)2 为了使得均方误差达到最小，线性预测满足： g Xt “ Xt 这是一个线性投影。 我们将线性投影预测表示为： f?(Yti |XJ 二:Xt 或者简化为： Y iit =〉Xt 显然线性投影的预测误差仍然不小于条件期望预测，因此有： MSE[P(Yt+|Xt)]XMSE[E(Y + |Xt)] 当条件当中包含常数的时候，此时线性投影当中就含有常数，为此使用 E表示含有常 数项的线性投影预测，即： [?(丫「以」=政丫「|1公」 3.1.3线性投影的性质 根据线性投影的定义，我们可以求出投影的系数向量： E(YtiXj — E(XtXj 如果E(XtXt)是可逆的，则有： -E(Yt iXt)[E(XtXt)] 命题3.1线性投影具有下述基本性质： 最优线性预测的均方误差为： MSE 二E(YtJ2 -E(YtiXt)[E(XtXt)LE(XtYti) 线性投影满足线性平移性质： f?(aYti b|X」二af?(Yti|Xt) b 证明：(1)根据投影向量的表达式，可以得到： MSE =E(Yt 1 _： Xt)2 = E(Yt 1)2 -2E(Yt dXt)[E(XtXt)]4E(XtYt!) E(Yt 必)[E(XtXt)] 4[E(XtXt)]E(XtYt 1) 化简就可以得到命题的表达式。 (2)需要证明 af?(Yti |Xt) + b是aYf卡+b的线性投影。