202151直线间的夹角.ppt

第二章 空间向量与立体几何 5.1 直线间的夹角 西安市第八中学 张树林 当两条直线 l 1 与 l 2 共面 时 , 我们把两条 直线交角中，范围在 内的角叫作 两直线的夹角 l 1 l 2 ? A C B ? ? ? ? ? 0 ， 2 ? ? 当两条直线 l 1 与 l 2 是 异面 直线时 , 在直线 l 1 上任取 一点 A 作 AB// l 2, 我们把直线 l 1 与直线 AB 的夹角叫作 异面直线 l 1 与 l 2 的夹角 . ? ? π ? ? 两条异面直线的夹角的范围为 ________ ， ? 0 ， ? 2 ? ? π 垂直 当夹角为 时，称这两条直线异面 . 综上，空间两条直线的夹角的范围是 _______. ? ? π ? ? ? 0 ， ? 2 ? ? 2 l 2 B A l 1 ? C 空间直线由一点和一个方向确定 , 所以空间两条直线的夹角由 它们的 方向向量的夹角 确定 . l 2 A l 1 s 1 B l 2 s 2 A s 1 B s 2 π 2 C l 1 C 已知空间两条直线 l 1 ， l 2 的方向向量分别为 s 1 ， s 2 ， 〈 s 1 ， s 2 〉 ； 当 0 ≤ 〈 s 1 ， s 2 〉 ≤ 时，直线 l 1 与 l 2 的夹角等于 π －〈 当 ＜〈 s 1 ， s 2 〉 ≤ π 时，直线 l 1 与 l 2 的夹角等于 s 1 ， s . 2 〉 π 2 设两条异面直线 l 1 ， l 2 的所成的角是 θ 方向向量分别为 s 1 ， s 2 ，则 cos θ ＝ |cos 〈 s 1 ， s 2 〉 | ， 两向量夹角的余弦公式 设 a ? ( x , y , z ), b ? ( x , y , z ) 1 1 1 2 2 2 则 cos ? a , b ? ? ? a ? b | a | ? | b | x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? z 1 z 2 x 1 ? y 1 ? z 1 2 2 2 x 2 ? y 2 ? z 2 2 2 2 热身练习 1 、求下列两个向量的夹角的余弦： a b （ 1 ） ＝ ( 2, － 3, ) , ＝ (1, 0, 0 ); 3 1 2 ? ? （ 2 ） ＝ ( － 1, － 1 ， 1), ＝ ( － 1, 0, 1) 。 b ? ? a 6 3 例 1 、如图，在空间直角坐标系中 有长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 ， AB=2 ， BC=2 ， AA 1 =3 ，求对角线 AC 1 和侧面 对角线 A 1 D 的夹角 ? 的余弦值。 解：设对角线 AC 1 和侧面对角线 A 1 D 的方向向量分别是 s , s 1 2 B 1 z A 1 C 1 D 1 则 s ? AC , s ? A D . 1 1 2 1 x (A) O B C y D 因为 A(0,0,0),C 1 (2,2,3),A 1 (0,0,3),D(0,2,0) 所以 AC ? ( 2 , 2 , 3 ), A D ? ( 0 , 2 , ? 3 ). z 1 1 s 1 ? s 2 因此 cos ? s , s 1 2 ?? | s 1 || s 2 | 5 ? ? ? 0 221 ? s 1 , s 2 ? AC 1 和 A 1 D 的夹角 ? = ? - 5 221 故 cos ? ? 221 A 1 B 1 D 1 C 1 (A) O B x C y D 跟踪练习 1 、 如图，正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 A B 1 1 中， B 1 E 1 ＝ D 1 F 1 ＝ ，（ 1 ）求 BE 与 DF 1 1 4 所成的角的余弦值，（ 2 ）求 A 1 B 与 B 1 C 所成 的角。 z D 1 A 1 D A F 1 E 1 O B B 1 C y C 1 解：如图以 D 为原点， 建立空间直角坐标系 O — xyz ，设正方体的 棱长为 4 ，则 . x （ 1 ） B (4, 4, 0 ), E 1 (4, 3 , 4), D(