数列解题技巧归纳总结打印.docx

等差数列前项和的最值问题： 1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。 （ⅰ）若已知通项，则最大； （ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大； 2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值 （ⅰ）若已知通项，则最小； （ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小； 数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知（即）求，用作差法：。 已知求，用作商法：。 ⑶已知条件中既有还有，有时先求，再求；有时也可直接求。 ⑷若求用累加法： 。 ⑸已知求，用累乘法：。 ⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。 特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求；形如的递推数列都可以除以得到一个等差数列后，再求。 （2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。 （3）形如的递推数列都可以用对数法求通项。 （7）（理科）数学归纳法。 （8）当遇到时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数） 例1、?已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。 例1、解?∵an+1-an=2为常数∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列 ∴an=1+2（n-1）即an=2n-1 例2、已知满足，而，求=？ （2）递推式为an+1=an+f（n） 例3、已知中，，求. 解：由已知可知 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1） 说明?只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。 (3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数） 例4、中，，对于n＞1（n∈N）有，求. 解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1） 因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4 ∴an+1-an=4·3n-1∵an+1=3an+2?∴3an+2-an=4·3n-1即an=2·3n-1-1 解法二：上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2， 把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为an+1=pan+qn（p，q为常数） 由上题的解法，得：∴ (5)递推式为 思路：设,可以变形为：， 想 于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。 求。 (6)递推式为Sn与an的关系式 关系；（2）试用n表示an。 ∴ ∴∴ 上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。 ∴2nan=2+（n-1）·2=2n 2．数列求和问题的方法 （1）、应用公式法 等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。 1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2 【例8】求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。 解?本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=个奇数， ∴最后一个奇数为：1+[n(n+1)-1]×2=n2+n-1 因此所求数列的前n项的和为 （2）、分解转化法 对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。 【例9】求和S=1·（n2-1）+2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2） 解?S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3） （3）、倒序相加法 适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。 例10、求和： 例10、解 ∴Sn=3n·2n-1 （4）、错位相减法 如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和． 例11、求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和． 解?设Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1．???① (2)x=0时，Sn=1． (3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，② ①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(