2003年浙江省大学数学竞赛试题及解答.pdf

2003 年浙江省大学生数学竞赛试题及解答 （2003.12.6 ） 一． 计算题 x 2 0 sin(xt ) dt 1．求lim 。 5 x 0 x x 2 3 2 ．设G( x) 1 t sin t dt ，求1 G( x)dx 。 2  x 3 ．求0 1x 4 dx 。 2n n k 2 4 ．求lim Cn k 。 n n(n 1) k 1 2 二． 求满足下列性质的曲线C ：设p 0 (x 0 ,y 0 ) 为曲线y 2x 上任一点，则 2 2 由曲线 x x0 , y 2x , y x 所围成区域的面积 A 与曲线 2 y y 0 ,y 2x 和C 所围成区域的面积B 相等。 三． 证明：锐角三角形内一点到三顶点联线成等角时，该点到三顶点距离之 和为最小。 2004 2 1 四． 证明：| 2003 sint dt | 2003 。 五． 设(x) 在[0,1]上可导，且(0) 0, (1)1 。证明：对任意正数a,b ， a b 必存在 内的两个数 与 ，使  a b 。 (0,1)      ( )  () 六． 求使得下列不等式对所有的自然数 都成立的最小的数 ： n  1 n  e  (1 ) 。 n 1 2003 年浙江省高等数学竞赛试题及解答 一、计算题 x 2 sin xt dt 0   1．求lim . 5 x 0 x 2 x 2 x 2 1 sin xt dt sin u  du 0   0 x 解：lim lim 5 5 x 0 x x 0 x 2 x 2