2016年江苏省第十三届高等数学竞赛（二级）.pdf

2016年江苏省第十三届高等数学竞赛 （本科二级） 一、解下列各题 （每题6分，共24分） 1.设 2 3 4 ，求  ． f (x) (x 1)(x  2) (x 3) (x  4) f (2) sin(sin x)  sin(sin(sin x)) 2.求极限lim ． x0 sin x sin(sin x) sin(sin(sin x))  x xy 2 xy 3.设 为曲线y 2  1上从点A(0,2) 到点B(1,3) 的一段弧，试求曲线积分 e (1 xy)dx  x e dy ． x  2y  z 1  4.已知点 与平面 ，在直线 上求一点 ，使得线段 平行于平 P(3,2,1)  : 2x2y 3z 1  Q PQ x  y  2z 4  面 ，试写出点Q的坐标．  二、（10分）判断下一命题是否成立？若判断成立，给出证明．若判断不成立，举一反例，作出说明．若函 f (2x)  f (x)  数f (x) 在x 0 处连续，lim a(a R) ，则f (x) 在x 0 处可导，且f (0) a ． x0 x   三、（10分）设f (x) 在[0,1] 上二阶可导，f (0) 0 ，f (1） 1，求证： （0，1），使得 f () f () 1 ．  xsin x 四、（10分）求定积分 dx ． 0 1 sin 2 x 五、（12分）设 在 处可微，且 2 2 2 2 ， f (x,y) (2,2) f (sin(xy)  2 cos x,xy  2 cos y) 1 x  y  o(x  y ) 其中 2 2 是比 2 2 高阶的无穷小（当 时），求曲面 在点 o(x  y ） x  y (x,y)  (0,0) z f (x,y) (2,2,f (2,2)) 处切平面方程． 六、（12分）求重积分 2 2 ，其中D {(x,y) 0  y  x,0  x  1} ．