磁场的高斯定理.ppt

磁场的“高斯定理” 磁矢势 ? 磁通量 ? 任意磁场，磁通量定义为 ? B ? ?? B ? d S S ? 磁感应线的特点： ? 环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远 ? B ? ?? B ? d S ? 0 S 磁高斯定理 无源场 磁高斯定理 通过磁场中任一闭合曲面 S 的总磁通量恒等 于零 ? 证明： ? ? 单个电流元 Idl 的磁感应线：以 dl 方向为轴线的一 系列同心圆，圆周上 B 处处相等； ? 0 Idl sin ? dB ? 2 4 ? r ? 考察任一磁感应管 ( 正截面为 ) ， 取任意闭合曲面 S ，磁感应管 穿入 S 一次，穿出一次 。 ? dS 1 cos ? 1 ? dS 2 cos ? 2 ? dS ? 0 Idl sin ? ? 0 Idl sin ? d ? B ? d B 1 ? d S 1 ? dS cos ? ? ? dS 1 1 2 2 4 ? 4 ? r r 1 d ? B 2 ? 0 Idl sin ? ? 0 Idl sin ? ? d B 2 ? d S 2 ? dS 2 cos ? 2 ? dS 2 2 4 ? r 4 ? r d ? B ? d ? B 1 ? d ? B 2 ? 0 ? 结论：任一磁感应管经闭合曲面 S 的磁通量为零 推广到任意载流回路的磁场 ? 一个电流元 产生的磁场可看成由许多磁 感应管组成 有的穿入又穿出，有上述结论 ? 有的没穿过 S ，磁通量为零 ? 任意载流回路 —— 由许多电流元串联而 成，由叠加原理得 ? 结论 ：通过磁场中任一闭合曲面 S 的总 磁通量恒等于零。 ? 磁高斯定理的微分形式 ? 利用数学的高斯定理 ? B ? ?? B ? d S ? 0 S ? ? B ? 0 ? ? B dV ? 0 ??? V ? 说明恒磁场的散度为零 —— 无源场 磁矢势 B ? d S ? 0 ?? S 无源场 ? ? B ? 0 B ? d l ? ? I ? 0 ? L L 内 非保守场一般 不引入标势 ? ? B ? j 有旋场 然而磁场的主要特征：无源（无散） —— 磁高斯定理 ? 其 更根本 的意义：使我们可能引入磁矢势 ? ? 磁高斯定理表明：对任意闭合面 S 1 S 2 ?? B ? d S ? ?? B ? d S ? ?? B ? d S ? 0 S ? ?? B ? d S ? ?? B ? d S S 1 S 2 磁通量仅由 的共同边界线所决定 可能找到一个矢量 A ，它沿 L 作线积分等于通过 S 的通量 A ? d l ? B ? d S ? ?? L S ( a ) ? 数学上可以证明，这样的矢量 A 的确存在， 对于磁感应强度 B ， A 叫做 磁矢势 ， A 在空间 的分布也构成矢量场，简称 矢势 根据矢量分析 ? 对任意矢量 A 有 ? ? ( ? ? A ) ? 0 满足 B ? ? ? A 的 A 不唯一 B ? ? ? A 其实标势也不唯 一，零点可选 ? 矢势的特点 ? ? ? ? ? 如：对于任意标量场 ? 的梯度 ?? ，有 ? ? ( A ? ? ? ) ? ? ? A ? ? ? ? ? ? ? ? ? A ? B 描述同一个磁感应强度 B ? 0 规范变换 ： A ? A ? ? ? ? 类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取 ? 通常选库仑规范 : ?? A=0 找电流产生的磁场中 磁矢势的表达式 ? 两种办法 利用对称性由 A ? d l ? B ? d S 得出 ? ?? L S 普通物理 的方法 电动力学的做法 由 B ? ? ? A 和 ? ? A ? 0 ? A 的表达式 ? ? 电流元的磁矢势 p112 式（ 2.55) 任意闭合回路的磁矢势 式（ 2.56) ? 例题 9 ? 例题 10 ? 例题 11 取闭合环路 L 电流元的磁矢势 ? 设磁矢势 a 与电流元平行 （因为对矢势变换规范可 以任选，选库仑规范 ?? A=0 的结果） —— a 只有 z 分量 L L a L b L C L d 以电流元为轴 , 取柱坐 标（ ? 、 ? 、 z ) z ? a ? d l ? ? a ? d l ? ? a ? d l ? ? a ? d l ? ? a ? d l ? ? a ? d l ? a ( p ) dl L b L a ? a, L c ? a, L d ? ? 只有这一段