小学数学竞赛：计数之整体法.教师版解题技巧培优易错难.docx

7-6-2 计数之整体法 教学目标 前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用． 例题精讲 解决计数问题时，有时要 “化整为零 ”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系． 【例 1】 一个正方形的内部有 1996 个点，以正方形的 4 个顶点和内部的 1996 个点为顶点， 将它剪成一些三 角形．问：一共可以剪成多少个三角形 ?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀， 那么共需剪多少刀 ? 【考点】计数之整体法 【难度】 4 星 【题型】解答 【解析】 方法一：归纳法，如下图，采用归纳法，列出 1 个点、 2 个点、 3 个点 时可剪出的三角形个数，需 剪的刀数． 不难看出，当正方形内部有 n 个点时，可以剪成 2n＋2 个三角形，需剪 3n+l 刀，现在内部有 1996 个点，所以可以剪成 2×1996+2=3994 个三角形，需剪 3×1996+1=5989 刀． 方法二：整体法．我们知道内部一个点贡献 360 度角，原正方形的四个顶点共贡献了 360 度角，所 以当内部有 n 个点时，共有 360n+360 度角，而每个三角形的内角和为 180 度角，所以可剪成 (360n+360) ÷180=2n+2 个三角形． 2n+2 个三角形共有 3×(2n+2)=6 n+6 条边，但是其中有 4 条是原有的正方形的边，所以正方形内部的 三角形边有 6n+6 — 4=6n+2 条边，又知道每条边被 2 个三角形共用， 即每 2 条边是重合的， 所以只用 剪 (6n+2) ÷2＝ 3n+1 刀． 本题中 n=1996 ，所以可剪成 3994 个三角形，需剪 5989 刀． 【答案】可剪成 3994 个三角形，需剪 5989 刀 【巩固】在三角形 ABC 内有 100 个点，以三角形的顶点和这 100 点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角 形？ 【考点】计数之整体法 【难度】 4 星 【题型】解答 【解析】整体法．100 个点每个点周围有 360 度，三角形本身内角和为 180 度，所以可以分成 360 100 180 180 201 个小三角形． 【答案】 201个小三角形 【例 2】 在一个六边形纸片内有 60 个点，以这 60 个点和六变形的 6 个顶点为顶点的三角形，最多能剪出 _______个． 【难度】 4 星 【考点】计数之整体法 【题型】填空 【解析】设正六边形内有 n 个点，当 n 1时有 6 个三角形，每增加一个点，就增加 2 个三角形， n 个点最多能剪出 6 2 n 1 2 n 2 个三角形． 60时，可剪出 124个三角形． 注：设最多能剪出  x 个小三角形，则这些小三角形的内角和为  180 x ．换一个角度看，汇聚到正六边 形 六个 顶点 处各 角之和为  4 180 ， 故这些 小三 角形的内  角总 和为 60 360  4 180 ．于是 180 x  60 360  4 180 ，解得 x  124． 【答案】 124个