解直角三角形知识点.docx

v1.0 可编辑可修改 一、 直角三角形的性质： 1 、两个锐角互余 ∵∠ C=90°∴∠ A+∠B=90° A 2、在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∵∠ C=90°∠ A=30°∴ BC= 1 AB D 2 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∵∠ ACB=90° D 为 AB的中点 ∴ CD= 1 AB=BD=AD 2 C B 4、勾股定理： a 2 b2 c 2 ： a2 b2 c2 还可以变形为 a2 c2 b2 ， b2 c2 a2 ． 5、射影定理： 在直角三角形中， 斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ ACB=90° CD⊥ AB ∴ CD2 AD ?BD AC2 AD ? AB BC2 BD ? AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB? CD=AC? BC 二、锐角三角函数 1、锐角三角函数定义： 在 RT ABC 中，∠ C=90°， a 、 b 、 c 分别是∠ A、∠ B、∠ C 的对 边，则： A的对边 a A的邻边 b sin A c cos A c 斜边 斜边 A的对边 a A的邻边 b tan A b cot A a A的邻边 A的对边 a 常用变形： a c sin A ； c 等，由同学们自行归纳 sin A 2、锐角三角函数的有关性质： （ 1）当 0° ∠A90°时， 0 sin A 1； 0 cos A 1； tan A 0 ； cot A 0 1 v1.0 可编辑可修改 （ 2）在 0° 90°之间，正弦、正切（ sin 、 tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、 余切（ cos 、 cot ）的值，随角度的增大而减小。 3、同角三角函数的关系： sin 2 A cos2 A 1 tan A cot A 1 tan A sin A cot A cos A cos A sin A 常用变形： sin A 1 cos2 Acos A 1 sin2 A （用定义证明，易得，同 学自行完成） 4、正弦与余弦，正切与余切的转换关系： a cos B cos(90 A) 同理可得： 如图 1，由定义可得： sin A c sin A cos(90 A) cos A sin(90 A) tan A cot(90 A) cot A tan(90 A) 5、特殊角的三角函数值： A A 2 2 30° 2 3 45° B C 60° 2 B C 1 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sin cos tan - cot - 二、有关三角函数计算 （计算器、特殊角） 三、解直角三角形 已知的一些边、角 求 另一些边、角 1、解直角三角形的基本类型及其解法总结： 类型 已知条件 解法 2 v1.0 可编辑可修改 两直角边 a 、 b c a2 2 ， tan A a ， B 90 A b 两边 b a ， 直角边 a ，斜边 c b c2 a2 ， sin A B 90 A c a 一边 直角边 a ，锐角 A B 90 A ， b a cot A ， c sin A 一锐角 斜边 c ，锐角 A B 90 A ， a c sin A ， b c cosA 例 1：①在 Rt △ ABC中 , ∠ C=Rt∠ ,a,b,c 是△ ABC的三边 ,a=6, ∠ B=30°求∠ A,b,c. ②在 Rt △ABC中 , ∠ C=Rt∠ ,a,b,c 是∠ A, ∠ B, ∠ C的对边 ,a=5,b= 5 3 , 求 c, ∠ A, ∠ B. 例 2: ①在 Rt ABC中 , ∠ C=Rt∠ ,a,b,c 是三边 , 且 ctgA 3 ,a=6. 求 c. 8 ②在 Rt ABC中, ∠ C=Rt∠ , ∠ B=30° ,a-b=2. 求 c. ③在 Rt ABC中 , ∠ B=45° , ∠C=60° ,BC= 6 2 3.求S ABC及 ABC的周长 . ④在 Rt ABC中, ∠ C=Rt∠, AC 8 5 , ∠ A的平分线 AD的长是 16 15 解直角三角形 . 3 ⑤在 Rt ABC中 , ∠ C=90°, AB 10 3 3 , cos ABC 5 BC,AD.  .D 是 AC上一点∠ DBC=30° . 求 2、解直角三角形的实际运用 仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 视线 铅垂线 仰角 水平线 h i h : l 俯角 视线 l α (2) 坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 ( 坡比 ) 。用字母 i 表示，即 i h 。坡 l 度一般