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《高等数学》考研2021名校考研真题库同济大学 第一部分考研頁题精选 第1章函数与极限 一、选择题 /(、)=干1叫1 +》| 1若 —1)(一2)，则f( *)第二类间断点的个数为( )。［数二、 数三2020研］ D.4 【答案】C查看答案 【解析】由f (x)表达式知，间断点有x = 0, ±1,2。 因为 i(e -l)(x-2) 7吟一2)祚，故x = o为可去间断 1 e^ln |l + x| ! !- =oc 些小)= !%el)(s2) 因 八?7 ，故X二1为第2类间断点； 1 炒 in |1 + x| 四/⑴=四伸—1)(5) 因 八.丿 ，故x=-l为第2类间断点； 剛*)=聽 ■故x = 2为第2类间断点; 線上，共有3个第二类间断点，故应选C项。 2当x-0时，若x - tanx与x、是同阶无穷小，则k=( )。［数一2019硏］ A . 1 2 C . 3 D .4 【答案】C查看答案 【解析】tanx在x = 0处的泰勒展开式为:tanx = x + ( 1/3 )x5 + o( x3 ), 因此当 x—0 时有 x - tanx ~ - (1/3 ) x3, SD x - tanx 与-(1/3 ) x，是 x—0 时的 等价无穷小，进一步可得x-tanx与x3是同阶无穷小，所以k = 3 ,故选C。 3已知方程x5 - 5x + k=。有3个不同的实根，则k的取值范围( )。［数三2019 研］ ( -oo, -4) (4, +初 {?4,4} ( -4,4) 【答案】D查看答案 【解析】方程x5 - 5x + k二0有3个不同实根等价于曲线y二x5 - 5x与直线 y二 k有3个不同的交点，因此硏究曲线y = xs-5x的曲线特点即可。 【解析】 加+g⑴二 1-OT. X —1 J x~L —lx0 x—b+L x0 由于f(x) +g(x)在R上连续，所以 lim [/(x)+g(x)]=l+a lim [六对+亦)]=一2 x-^-L 因此 1 + a 二-2=a = -3。 lim[/(x) + g(x)] = -l I。- lim[/(r) + g(x)] = l-fe xtO 因此 1 - b= - l=b二2O 5若函数 研］ A . ab = 1/2 B ? ab =-1/2 D.ab二2 1- cosyx c rx 0 ar X~Q在x = 0处连续，则( )o [数一 2017 【答案】A查看答案 【解析】由连续的定义知 lim f(x)= lim /(x) = /(O) = r-KT :c7- ax[. l-COS 石 7lim = b ax z- 又当x-0时r l-cos-Tr- 代入得 1/ ( 2a ) =b. BDab = l/2. ，通6设函数y二f( x BS( - 8 , + oo)内连续，其导函数的图形如图1-1所示，则( ，通 ［数三2016研］ 图1-1 图1-1 A.函数f(x)有2个极值点，曲线y = f (x)有2个拐点 B .函数f ( x )有2个极值点，曲线y = f (x)有3个拐点 C.函数f(x)有3个极值点，曲线y = f(x)有1个拐点 D .函数f ( x )有3个极值点，曲线y = f(x )有2个拐点 【答案】B查看答案 【解析】如图1-2所示，f ( x )在a , c , d三点取值为0 ,有可能为f ( x ) 的极值点，a点：当xva时，f(x) 0;当xa时，f( x ) 0,所以a点为极 大值点，c点：当xc时，f(x) 0;当xc时，f(x) 0 ,所以c点为极小 值点，d点：当xd时，f(x) 0;当xd时，f(x) 0,所以d点不是极 值点，所以，f(x)有2个极值点。 图1-2中,b, e, d有可能为f (x)的拐点，b点：当x b时,f ( x )递减，f“ (x) 0;当bxe时，f(x)递増，f”(x) 0,所以b点为拐点，e点：当 bxe 时(x)递増，f(x) 0;当 exd 时，f( x )递减，f“( x ) 0 , 所以e点为拐点，d点：当exd时，f(x)递减,f ( x ) 0;当乂乂时 (x )递增，f ( x ) 0 ,所以d点为拐点，所以，f ( x )有3个拐点。 二、填空题 lim —-—-—= 1烦1+初 ［数一2020 硏］ 【解析】【答案】-1查看答案 【解析】 =地皿1*同2%1 = 1血岫5 = liml±K￡ =-1 丫8 (W -1) ln(l + r) 丫顼 jt 乂― 2x 2 Iim(x + 2X)^ = 2 。［数二 2019 硏］ 【答案】4e2 【解析】运用重要极限和洛必达法则，计算得 u 2辰尸.li