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专题5 解析几何 1．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）． （1）求C的方程： （2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 2．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 3．已知椭圆过点，且． （Ⅰ）求椭圆C的方程： （Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点． 求的值． 4．已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 5．如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）． （Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 1．在平面直角坐标系中，曲线：和函数的图像关于点对称. （1）函数的图像和直线交于、两点，是坐标原点，求证：； （2）求曲线的方程； （3）对于（2），依据课本章节《圆锥曲线》的抛物线的定义，求证：曲线为抛物线. 2．点是直线上的动点，过点的直线、与抛物线相切，切点分别是、. （1）证明：直线过定点； （2）以为直径的圆过点，求点的坐标及圆的方程. 3．设椭圆的方程为，斜率为的动直线交椭圆于、两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆. （1）求圆心的轨迹方程，并描述轨迹的图形； （2）若圆经过原点，求直线的方程； （3）证明：圆内含或内切于圆. 4．在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称，顶点为坐标原点，且经过点. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线交抛物线于M、N两点，P点是直线上任意一点.证明：直线的斜率依次成等差数列. 5．已知椭圆：（）的离心率是，原点到直线的距离等于. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知点，若椭圆上总存在两个点关于直线对称，且，求实数的取值范围． 6．椭圆的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒过定点. 7．已知定点，圆，点为圆上动点，线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点与作平行直线和，分别交曲线于点、和点、，求四边形面积的最大值. 8．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，M为椭圆上任意一点，当时，的面积为，且. （1）求椭圆C的方程； （2）设O为坐标原点，过椭圆C内的一点作斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线，的斜率分别为，，若对任意实数k，存在实数m，使得，求实数m的取值范围.