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泉州市2021届高中毕业班质量监测 （三）参考答案与评析
高三数学解答第20至22题部分
20．（12 分）
如图，在四棱锥PABCD 中，二面角PADC是直二面角， 为等腰直角三角形 的斜
AD PAD
边， ， ， ， 为线段 上的动点．
AD CD 2 AB BC 1 BD 5 M PC
（1）当PM MC时，证明： //平面 ；
PA MBD
（2）若平面MBD 平面ABCD ，求二面角BMDC的余弦值．
【命题意图】本题考查空间几何点线面位置关系、线面垂直的性质和判定、面面垂直的判定、点面距离的
求法等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化的思
想；考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养．
【试题解析】
（1） 连结 交 于 ，连结 ，········································································1分
AC BD N MN
因为 ， ，
AD CD 2 AB BC 1
所以 为AC 的垂直平分线，则AN CN ，························································2 分
BD
又因为 ，所以 为 的中位线，则 // ，······························3 分
PM MC MN PAC PA MN
又因为PA 平面MBD ，MN 平面MBD ， 4 分
所以 //平面 ．·······················································································4 分
PA MBD
1 11
泉州市2021届高中毕业班质量检测 （三）数学试题 第 页 （共 页）
（2）
解法一：取 的中点 ，因为平面 平面 ，
AD O PAD ABCD
所以OP 平面ABCD ，··············································································5 分
x OD,OP y z
过 作 的垂线作为 轴，分别以 所在的直线为 轴， 轴建立如图空间直角
O AD
坐标系，
P(0,0,1) A(0,1,0) D(0,1,0)
则 ， ， ，···························································6 分
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