1 11连续函数的运算与性质.ppt

1.11连续函数的运算与性质 一、连续函数的算术运算 定理1、若函数f(x)，g(x)在点x0处连续，则Cf(x)（C为 常数），f(x) g(x)，f(x) g(x)， 在点x0处也连续。 二、复合函数的连续性 定理2、若 ，函数f(u)在点a处连续，则有 定理3、设函数 在点x0处连续，且 ,而 函数y＝f(u)在点u＝u0处连续，则复合函数 在点x0处也连续。 例：求下列极限 三、初等函数的连续性 定理4、基本初等函数在其定义域内是连续的。 定理5、一切初等函数在其定义区间内都是连续的。 区别：定义域、定义区间 －－幂指函数 例：求 四、闭区间上连续函数的性质 最大值（最小值）：对于区间I上有定义的函数f(x)，如 果存在 ，使得对于任一 都有 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值) 1、最值性定理：如果在闭区间上连续的函数一定有最 大值和最小值。 开区间连续? 闭区间不连续? 2、有界性定理：如果在闭区间上连续的函数一定有界。 3、零点定理：如果 在闭区间 上连续，且 则在开区间 内至少有函数f(x)的一个零点，即至少存在一点 ，使得: 如果f(x0)＝0，则称x0为函数f(x)的零点。 4、介值性定理：如果 在闭区间 上连续，且在该区间的端点有不同的函数值f(a)＝A，f(b)＝B，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点 ，使得有 。 说明零点的存在性，如何求则没有给出。 例1：证明方程 在 内至少有一个根。 例2、设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)a， f(b)b， 证明：存在 ，使得