中考数学几何变换及试题汇编全套.pdf

中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解） 几何图形问题的解决， 主要借助于基本图形的性质 （定义、定理等） 和图形之间的关系 (平行、 全等、 相似等） . 基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的 情况也同样具有 “变换”形式的联系 .本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样， 和相互间的位置没有直接 关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移 的关系，或成旋转的关系（包括中心对称） .这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的性质 或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重 要的启发和引导的作用 .下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究 . 解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基 本图形及基本的图形关系， 而 “变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力 . 1．已知正方形 ABCD 中， E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF ⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG ，CG ． （1）求证： EG=CG ； （2 ）将图 ① 中△ BEF 绕 B 点逆时针旋转 45°，如图 ② 所示，取 DF 中点 G，连接 EG ，CG ．问（ 1）中的结论是否 仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图 ① 中△ BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 ③ 所示，再连接相应的线段，问（ 1）中的结论是否仍然成立？ 通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明） ． 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质。 专题：压轴题。 分析： （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出 CG=EG ． （2 ）结论仍然成立，连接 AG ，过 G 点作 MN ⊥AD 于 M ，与 EF 的延长线交于 N 点；再证明 △DAG ≌△ DCG ，得 出 AG=CG ；再证出 △DMG ≌△ FNG ，得到 MG=NG ；再证明 △AMG ≌△ ENG ，得出 AG=EG ；最后证出 CG=EG ． （3）结论依然成立．还知道 EG ⊥CG ． 解答： （1）证明：在 Rt△ FCD 中， ∵G 为 DF 的中点， ∴CG= FD ， 同理，在 Rt△ DEF 中， EG= FD ， ∴CG=EG ． （2 ）解： （1）中结论仍然成立，即 EG=CG ． 证法一：连接 AG ，过 G 点作 MN ⊥AD 于 M ，与 EF 的延长线交于 N 点． 在 △ DAG 与 △ DCG 中， ∵AD=CD ，∠ ADG= ∠CDG ， DG=DG ， ∴△ DAG ≌△ DCG ， ∴AG=CG ； 在 △ DMG 与 △FNG 中， ∵∠ DGM= ∠FGN ， FG=DG ，∠ MDG= ∠NFG ， ∴△ DMG ≌△ FNG ， ∴MG=NG ； 在矩形 AENM 中， AM=EN ， 在 △AMG 与 △ENG 中， ∵AM=EN ，∠AMG= ∠ENG ，MG=NG ， ∴△AMG ≌△ ENG ， ∴AG=EG ， ∴EG=CG ． 证法二：延长 CG 至 M ，使 MG=CG ， 连接 MF ，ME ， EC， 在 △ DCG 与 △ FMG 中， ∵FG=DG ，∠ MGF= ∠CGD ， MG=CG ， ∴△ DCG ≌△ FMG ． ∴MF=CD ，∠ FMG= ∠DCG ， ∴MF ∥CD ∥AB ， ∴EF ⊥MF ． 在 Rt△ MFE 与 Rt△CBE 中， ∵MF=CB ， EF=BE ， ∴△ MFE ≌△ CBE ∴∠ MEF= ∠CEB ． ∴∠ MEC= ∠MEF+ ∠FEC= ∠CEB+ ∠CEF=90 °， ∴△ MEC 为直角三角形． ∵MG=CG ， ∴EG= M