专题15 圆的计算与证明1 备战中考数学典例精做题集教师版 .pdfVIP

※知识精要 一、垂直于弦的直径 圆轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。 推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。推理2：圆两条平行弦所夹 的弧相等。 二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等。 三、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。 推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。 四、圆的内接四边形 多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 五、切线的判定和性质 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：圆的切线垂直于 经过切点的半径 推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 六、三角形的内切圆 要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切∵分角线上的点到角的两边距离相等。∴两条分角线的 1 交点就是圆心。 这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。 和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。 七、切线长定理 经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 ※要点突破 解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用所学知识解决问题． ※典例精讲 例1．如图，AB是 的一条弦，E是AB 的中点，过点E作 于点C，过点B作 的切线交 CE 的延长线于点D． 求证： ； 若 ， ，求 的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2） 的半径为 2 作 于F，连接OE， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， 3 ， 的半径为 ． 例2．如图，在 中， ，以AC为直径作 交BC于点D，过点D作 于点E，交 AC 的延长线于点F． 求证：EF与 相切； 若 ， ，求EB 的长． 【答案】 证明见解析 ， ． ， ， ，