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立体几何复习讲义 一、考试大纲解读 一 知识梳理 立体几何是高中数学的重要内容，立体几何试题是考查空间想象能力，逻辑思维能力和演绎推理能力的基本载体。 在《课程标准》中，立体几何的内容和考查要求有了较大的变化：增加了三视图，更强调几何直观，几何证明有所削弱，淡化了距离问题。因此，在复习中，以基本知识，基本方法为基础，以通性通法为重点，培养空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力。 1、加强几何直观 立体几何问题以 “直观图”“三视图”等形式呈现几何直观，注意空间想象能力的培养，尤其是认识图，理解图，应用图的能力，实现“空间图形”与其“直观图”“三视图”的相互转化。在试题设计上，通常有1—2道选择题或填空题，常见题型为（1）与三视图结合，考查几何体的表面积或体积等问题，（2）平行垂直关系的判定以及符号语言的理解和使用。 2、几何证明有所削弱，但平行与垂直关系仍是问题的主线 线线，线面，面面平行和垂直关系是最重要的空间位置关系，仍然是高考考查的重点，在试题设计上，解答题常以多面体和旋转体为载体，考查平行垂直关系，以及角的计算，同时应适度关注有关位置关系的探索等探索性问题。 3、重视向量方法在立体几何计算问题中的应用 由于平面几何和高中立体几何对平行垂直关系的证明要求有所削弱，有关线面角，二面角侧重于用向量方法，要求考生（1）会根据题目特点，建立适当的空间直角坐标系，求出所研究各点的坐标，进而求出相关几何量的坐标，（2）会用数量积研究两条直线的夹角和线段长度的计算问题，（3）会用向量的线性运算研究向量的共线问题，进而解决平行垂直关系以及空间中角的计算和两点间的距离问题。 二、知识点回顾 1、空间平行与垂直的判定定理 线面平行：____________________________________________________________ 线面垂直：_____________________________________________________________ 面面平行：_____________________________________________________________ 面面垂直：_____________________________________________________________ 2、空间角（观察下面图形） 类型 ①线线角 ②线面角 ③面面角 求角公式 e1，e2分别为直线l1，l2的方向向量，直线l1，l2 所成的角为q， ____________ 设e为直线l的方向向量，n为平面a的法向量，l与平面a所成的角为q， _____________ 设n1，n2分别为平面a1，a2的法向量，平面a1，a2 所成的二面角为q， ______________ 取值范围 ______________ ______________ ______________ 图形 3、空间距离 点面距离的向量公式：平面的法向量为，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d=. [高考速递]： ABCDB1C1D1EA1在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2, A B C D B1 C1 D1 E A1 A. B. C. D. 三、空间向量在立体几何解答题中的应用 俯视图主视图 俯视图 主视图 左视图 1、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形， 那么该几何体的体积为 ． 2.如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点. （1）求证 ABCCQ （2）求异面直线与所成角的大小； （3）求直线与面Q所成角的正弦； （4）求二面角A-CQ-B的平面角的余弦。 俯正 俯 正 侧 3 1 2 2 1、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是_______________。 2、如图，五面体中，．底面是正三角形，.四边形是矩形，二面角为直二面角. （1）在上运动，当在何处时，有平面,并且说明理由； （2）当平面时，求二面角的余弦值. 解：（1）证明略 （2）建立空间直角坐标系如图所示,则,,,, ……7分 所以,. ……………………………8分 设为平面的法向量,则有,即令,可得平面的一个法向量为, 而平面的一个法向量为 …所以所以二面角的余弦值为……………13分 练习、如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，。它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，。 （Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦； （Ⅱ）在线段上是否存在点，