含有绝对值的不等式的解法教学教材.pdf

选修 4-5 不等式选讲 课 题： 含有绝对值的不等式的解法 目的要求 ：理解定理 || a | | b || | a b | | a | |b | ，弄清取等号的条件， 理解定理的 几何意义：三角形任意两边之差小于第三边，两边之和大于第三边；能应用 定理解决一些基本问题。 重点难点 ： 对于定理的理解和应用。 教学设计 ： 一、引入 ： 在初中课程的学习中， 我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定 的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。 关于含有绝对值的不等式的问题， 主要包括两类： 一类是解不等式， 另一类 是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式 （也称绝对值不等式），关键在于 去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义 . 请同学们回忆一下绝对值的意义。 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 x，如果 x 0 x 0，如果 x 0 。 x，如果 x 0 2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型。 设 a 为正数。根据绝对值的意义，不等式 x a 的解集是 { x | a x a} ，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合是开 区间（－ a，a），如图所示。 a 图 1-1 a 如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。 第二种类型。 设 a 为正数。根据绝对值的意义，不等式 x a 的解集是 { x | x a 或 x a } 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合是两个开区间 ( , a), ( a, ) 的并集。如图 1-2 所示。 –a a 选修 4-5 不等式选讲 图 1-2 同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。 二、范例分析 ： 例 1、解不等式 3x 1 x 2 。 例 2、解不等式 3x 1 2 x 。 方法 1：分域讨论 ★方法 2 ：依题意， 3x 1 2 x 或 3x 1 x 2 ，（为什么可以这么解？） 例 3、解不等式 2x 1 3x 2 5 。 例 4 、解不等式 x 2 x 1 5 。 解 本题可以按照例 3 的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等 式即数轴上的点 x 到 1，2 的距离的和大于等于 5 。因为 1，2 的距离为 1，所以 x 在 2 的右边，与 2 的距离大于等于 2 （＝（5－1） 2) ；或者 x 在 1 的左边， 与 1 的距离大于等于 2 。这就是说， x 4 或 x 1. 例 5、不等式 x 1 x 3 a ，对一切实数 x 都成立，求实数 a 的取值范围。 三、小结 ： 四、练习 ：解不等式 1、 2 2x 1 1. 2、 4 1 3x 1 0 3、 3 2x x 4 . 4 、 x 1 2 x . 2 2