联方对穿求体积最值问题建模（设计：武汉·数学花园）.docVIP

联方对穿求体积最值问题 设计：数学花园 问题一：平面三联方块有2种，如下图1，现在先准备用64个小立方体组合成一个4×4×4的大立方体。 （1）从图1中选3个相同的三联方，分别从大立方体的三个面的靠中间位置平行打孔穿过去(不接触边缘立方体)，例如图2，求穿过后打掉的单位体积的最大值和最小值，并绘制出3个三联方如何摆放的起始位置。 （2）从图1中任选3个三联方（允许重复），分别从大立方体的三个面的靠中间位置平行打孔穿过去(不接触边缘立方体)，例如图3，求穿过后打掉的单位体积的最大值和最小值，并绘制出3个三联方如何摆放的起始位置。 图1 图2 图3 问题二：平面四联方块有2种，如下图4，现在先准备用125个小立方体组合成一个5×5×5的大立方体。 （1）从图4中选3个不相同的四联方，分别从大立方体的三个面的靠中间位置平行打孔穿过去(不接触边缘立方体)，例如图5，求穿过后打掉的单位体积的最大值和最小值，并绘制出3个四联方如何摆放的位置。 （2）从图4中选3个相同的四联方，分别从大立方体的三个面的靠中间位置平行打孔穿过去(不接触边缘立方体)，例如图6，求穿过后打掉的单位体积的最大值和最小值，并绘制出3个四联方如何摆放的位置。 图4 图5 图6 五联方对穿求体积问题 问题三：平面五联方块有12种，如下图7，现在先准备用125个小立方体组合成一个5×5×5的大立方体，从图7中选3种五联方，分别从大立方体的三个面的靠中间位置平行打孔穿过去(不接触边缘立方体)，如图8，求穿过后打掉的体积。 图7 图8 解答：切割成上、下、左、右、前、后六块，中间在内部留下一3×3×3的块，对穿以后，上、下、左、右、前、后这六块共打掉5×2×3=30个体积单位（图9中黑色部分），中心3×3×3的块打掉24个体积单位，总共打掉54体积单位. 图9 ★延伸问题1：选用任意相同3块五联方(I、L、Y、N型要侧着穿孔)从3个不同面的中心靠中间位置处平行打通对穿过去，分别计算其体积，进行小组计算比赛，并求打掉单位体积的最大值和最小值，同时绘制出3个五联方如何摆放的位置。(注：打通的五联方不能接触边缘立方体，例如图10) ★延伸问题2：选用任意不同3块五联方(I、L、Y、N型要侧着穿孔)从3个不同面的中心靠中间位置处平行打通对穿过去，分别计算其体积，进行小组计算比赛，并求打掉单位体积的最大值和最小值，同时绘制出3个五联方如何摆放的位置。(注：打通的五联方不能接触边缘立方体，例如图11) 图10 图11