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4-2 圓與直線之關係
重點整理
1. 圓與直線之關係：圓 C : x2 y2 dx ey f 0 與直線 L : ax by c 0
(1) 求交點：將兩方程式解聯立，得一一元二次方程式，令其判別式為 D，
(i) 若 D 0 C 與 L 相交二點。
(ii) 若 D 0 C 與 L 相切。
(iii) 若 D 0 C 與 L 不相交。
(2) 圓心到直線距離與半徑比較： 設圓 C 的半徑為 r ，圓心到直線 L 的距離為
d
(i) 若 C 與 L 相交二點 d r
(ii) 若 C 與 L 相切 d r
(iii) 若 C 與 L 不相交 d r
2. 圓的切線：若一直線 L 及圓 C 在同一平面上，且 L 與圓 C 恰有一交點（重合
交點），則稱此線 L 為此圓之切線。
3. 切線公式：
(1) 過圓 (x x )2 ( y y )2 r 2 上一點（ x , y ）的切線方程式為
0 0 1 1
2
( x x )(x x ) ( y y )( y y ) r
1 0 0 0 0
(2) 過圓 x2 y2 dx ey f 0 上一點 (x , y ) ）的切線方程式為
0 0
x x0 y y0
x x y y d e f 0
0 0
2 2
19
2 2 2 2
(3) 斜率 m且與 x y r 相切的直線方程式為 y mx r 1 m
2 2 2
(4) 斜率 m且與 (x x ) ( y y ) r 相切的直線方程式為
0 0
2
y y m(x x ) r 1 m
0 0
2 2
(5) 若 P(x , y )在圓 C : x y dx ey f 0 外部，則自 P 向圓 C 作二切線
0 0
d e
之切點連線之方程式為 x x y y (x x ) (y y ) f 0 。( 極線 )
0 0
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