【全国百强校】甘肃省西北师大附中高中物理奥赛复赛讲义第一部分力学之天体运动问题.pdfVIP

3.天体运动问题 例题 8 ：（第29 届复赛真题） 设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质 电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度 R （从地心算起） 延伸到太空深处。 这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕 地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到 某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。 1．设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上 升，该卫星在上升到 0.80 R 处意外地和太空电梯脱离（脱离时 卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。 （1）论证卫星脱落后不会撞击地面。 （2 ）如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星 从脱落时刻起，在 0 至 12 小时及 12 至 24 小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。 2．如果太空电梯地点位于东经 110 度处，在太空电梯上离地心距离为 R X 处有一卫星 从电梯脱落（脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零） ，脱落后该卫星轨道刚 好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地， 试求卫星着地点的经度。 提示：此问要用数值 方法求解高次方程。 24 6 已 知 ： 地 球 质 量 M 6 .0 10 kg ， 半 径 R e 6 .4 10 m 的 球 体 ； 引 力 恒 量 11 2 2 G 6 . 7 10 N m kg ；地球自转周期 T e 24 小时；假设卫星与太空电梯脱落后只 受地球引力作用。 解析： i. 通 过 计 算 卫 星 在 脱 离 点 的 动 能 和 万 有 引 力 势 能 可 知 ，卫 星 的 机 械 能 为 负 值 . 由 开 普 勒 第 一 定 律 可 推 知 ， 此 卫 星 的 运 动 轨 道 为 椭 圆 （或 圆 ）， 地 心 为 椭 圆 的 一 个 焦 点 ( 或 圆 的 圆 心 ) ， 如 图 所 示 . 由 于 卫 星 在 脱 离 点 的 速 度 垂 直 于 地 心 和 脱 离 点 的 连 线 ，因 此 脱 离 点 必 为 卫 星 椭 圆 轨 道 的 远 地 点（ 或 近 地 点 ）；设 近 地 点 （或 远 地 点 ） 离 地 心 的 距 离 为 r ， 卫 星 在 此 点 的 速 度 为 v . 由 开 普 勒 第 二 定 律 可 知 2 r v = 0.8 0 R (1) 式 中 ( 2 /T ) m e 为 地 球 自转 的 角 速 度 .令 表 示 卫 星 的 质 量 ，根 据 机 械 能 守 恒 定 律 有 1 G M m 1 2 G M m 2 2 m v m 0.8 0 R （2 ） 2 r 2 0.8 0 R 由 （1 ） 和 （2 ） 式 解 得 r 0.2 8 R (3) 可 见 该 点 为 近 地 点 , 而 脱 离 处 为 R 远 地 点 .