雪花曲线中的科克数学问题.docx

雪花曲线中的科克数学问题 （ ）将正三角形（ 1）的每边三等分，并以中间的那一条线段为以底边向形外作 等边三角形，然后去掉底边，得到图（ 2）； （ ）将图（ 2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（ 3）； （ ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得的曲线称为科克雪花曲线（ koch snowflake） ··· （1） （2） （3） （4） （5） 设图（ 1）中的等边三角形的边长为 1，并分别将图（ 1）、（ 2）、（ 3）··中的图 形依次记作 、 、 、··。 （1） 求 中的边长 ； （ 2） 求 中每条边的长度 ； （3） 求 的周长 ； （ 4） 求 所围成的面积 ； 5） 求周长和面积的极限。 解：从科克雪花曲线的生成过程不难发现： （ 1） 因为每个圆形中的一条线段在后一个圆形中变成四条线段，所以 公式为 ， ， 其通项公式为 （ 2） 因为圆形中的每条线段长度在后一个圆形中变为原长的 ，所以  的递推 的递推公 式为 。 其通项公式为  。 （3） 因为  ，所以  的通项公式为 。 （ 4） 为了便于表述，将图形（ 1）中的正三角形的面积记作 则 。 当由 生成 时，在 的每一条边上多了一个面积为 的小等边三角 形，这些小等边三角形的面积之和为 ，其中 的面积为 。 于是得到科克雪花曲线面积的递推公式： · . 把 代入上式，经简化得 容易验证： 等。 （ 5） 由周长 和面积 的表达式可知 。 当 n 无限增大时，也随之无限增大。 因为 ，所以 注释 :科克雪花曲线图形与高中二年级的数列知识联系起来，不仅运用了数学数列的递推公式，还涉及到一定的递推思想，找到一定的规律并解出问题。此外，科克 雪花曲线图形与新兴的分形几何有一定的联系，分形几何中最典型的例子就是 “英吉利亚海岸线有多长？ ”的提出，随之，分形几何这个名词诞生。根据分形几何的原理，用有足够精度的尺子去度量海岸线的长度，那么只要尺子的精度足够小，海 岸线的周长就可以无限的长。也就是说，海岸线的面积有上限，而它的周长却可以无限的长。这里，科克雪花曲线图形就是这样，将其边长无限的分割下去，那么它的面积有限，而周长却是无限的。但可以根据数列极限求出其和函数。当我们对它无限分割的时候，这时整个图形的边缘看起来就好像是雪花的形状，这也就是它为什么叫做雪花曲线图形的原因。这个数学问题有趣之处在于它不仅代表了一门学科的发展，而且，还从数学图形中得到了优美的雪花图形，这在数学问题中是很少见的。