第四章不定积分.docVIP

《应用数学》精品课程—电子教案 hanlianjun PAGE PAGE 2 - - 第四章 不定积分 本章讨论的问题 寻求一个可导函数,使它的导数等于已知函数.即求导数的逆运算不定积分. 第一节 不定积分的概念和性质 要求:理解原函数的概念和不定积分的概念,了解原函数存在定理、积分曲线的概念.初步掌握基本积分表和不定积分的性质. 重点:原函数、不定积分的概念，基本积分表和不定积分的性质. 难点:不定积分的概念.积分曲线的概念,运用基本积分表和不定积分的性质求不定积分. 4教学时 原函数与不定积分的概念 定义1.如果区间I上,可导函数的导数为,即.都有 或 那么函数就称为(或)在区间I上的原函数. 例如: 所以的原函数. ,所以是的原函数. 当时,[. 所以是在内的原函数. 关于原函数的问题: 原函数的存在问题：一个函数具备什么条件时它的原函数一定存在？ 原函数的结构问题:一个函数如果存在原函数,其原函数的个数有多少?这些原函数的关系如何表达? 原函数存在定理:如果函数在区间上连续.那么在区间上存在可导函数,使对任一都有 即连续函数一定存在原函数. 原函数和结构问题:设在区间上的一个原函数,那么对任意常数C有 即对任意常数C,函数也是的原函数.这说明.如果有一个原函数,那么就有无穷多个原函数. 设的另一个原函数,则,有 .于是 所以 (为某个常数) 这表明只差一个常数.因此当C为任意常数时,表达式 就可以表示的任意一个原函数,也就是说, 的全体原函数所组成的集合,即函数族. 定义2:在区间上,函数的带有任意常数项的原函数称为在区间上的不定积分,记作,其中记号称为积分号, 称为被积函数, 称为被积表达式, 称为积分变量.即如果是的一个原函数,那么就是的不定积分.即 = 因此不定积分可以表示的任意一个原函数. 例1. 求 解:由于,所以是的一个原函数.因此 =+C 例2.求. 解:当时,由于,所以在内的原函数,因此在内,有 . 当时,由于,所以当时,由于内的原函数,因此在内 . 把以上结果综合起来,得 . 例3.设曲线通过点,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的2倍,求此曲线的方程. 解:设所求曲线方程为,由题设曲线上任一点处的切线斜率为 . 即的原函数,因为 故必存在某个常数C,使.因为所求曲线通过点, 故 . 于是所求曲线方程为 . 函数的原函数的图形称为的积分曲线.例3即是求函数的通过点的那条积分曲线. 不定积分与微分(求导)互为逆运算: 由于是的原函数 .所以 或. 又由于是的原函数,所以 . 由此可见微分运算(以记号表示)与求不定积分的运算(简称积分运算以记号表示)是互逆的,记号与一起时或者抵消,或者抵消后差一常数. 基本积分表 1.为常数) 2. . 3.. 4. . 5. . 6. . 7. 8. 9. . 10. 11. 12. 13. 14. 15. 以上十五个基本积分公式是求不定积分的基础,必须熟记. 例4.求. 解: 例5. 三.不定积分的性质 性质1.设函数的原函数存在,则 性质2.设函数的原函数存在, 为非零常数,则 . 例6.求. 解: . 例7.求 解: 例8. 求. 解: 小结:1.原函数的定义;2.原函数的存在定理和结构;3.不定积分的定义;4不定积分与微分(或求导)互为逆运算;5.不定积分的性质6.基本积分表(要求熟记). 作业 第二节 换元积分法 利用基本积分积分表与积分性质，所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步来研究不定积分的求法。换元积分法是求不定积分的一种重要方法。要求：掌握换元积分法。 重点：第一换元积分法、第二换元积分法。 难点：第一换元积分法中中间变量的选取,灵活地地应用微分公式凑微分；第二换元积分法中适当连续单调函数，转化为关于的不定积分，求出不定积分后用回代。 共8学时。 第一换元积分法 定理1（第一换元积分法）设函数在所讨论的区间上可微，又设 ， 则有 证明：因为，由定义则有：由复合函数的求导法则，得 所以 的一个原函数， 故 第一类换元积分法的解题步骤： 设要求如果被积函数可化为的形式，那么 = = 注：第一换元积分法的关键是如何选取，并将凑成微分的形式，因此，第一换元积分法又称为“凑微分”法。 求 求（1）（2） 求； 求不定积分：（1）（2） 求不定积分 求 求下列不定积分：（1）；（2）；（3） 求下列不定积分（其中）： （1）；（2）；（3） 作业： 二、第二换元积分法 定理2、（第二换元积分法