2021年度平面向量知识点总结及练习.docVIP

平面向量 一．向量关于概念： 1．向量概念：既有大小又有方向量，注意向量和数量区别。向量惯用有向线段来表达，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 如：已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到向量是_____（答：（3,0）） 2．零向量：长度为0向量叫零向量，记作：，注意零向量方向是任意； 3．单位向量：长度为一种单位长度向量叫做单位向量(与共线单位向量是)； 4．相等向量：长度相等且方向相似两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相似或相反非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。 提示： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同两个概念：两个向量平行包括两个向量共线，但两条直线平行不包括两条直线重叠； ③平行向量无传递性！（由于有)； ④三点共线共线； 相反向量：长度相等方向相反向量叫做相反向量。相反向量是－。 如：下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等充要条件是它们起点相似，终点相似。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中对的是_______ （答：（4）（5）） 二．向量表达办法： 1．几何表达法：用带箭头有向线段表达，如，注意起点在前，终点在后； 2．符号表达法：用一种小写英文字母来表达，如，，等； 3．坐标表达法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相似两个单位向量，为基底，则平面内任从来量可表达为，称为向量坐标，＝叫做向量坐标表达。如果向量起点在原点，那么向量坐标与向量终点坐标相似。 三．平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内两个不共线向量，那么对该平面内任从来量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。如 （1）若，则______ （答：）； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底是 A. B. C. D. （答：B）； （3）已知分别是边上中线,且,则可用向量表达为_____ （答：）； （4）已知中，点在边上，且，，则值是___ （答：0） 四．实数与向量积：实数与向量积是一种向量，记作，它长度和方向规定如下：当0时，方向与方向相似，当0时，方向与方向相反，当＝0时，，注意：≠0。 五．平面向量数量积： 1．两个向量夹角：对于非零向量，，作， 称为向量，夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。 2．平面向量数量积：如果两个非零向量，，它们夹角为，咱们把数量叫做与数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任从来量数量积是0，注意数量积是一种实数，不再是一种向量。如 （1）△ABC中，，，，则_________ （答：－9）； （2）已知，与夹角为，则等于____ （答：1）； （3）已知，则等于____ （答：）； （4）已知是两个非零向量，且，则夹角为____ （答：） 3．在上投影为，它是一种实数，但不一定不不大于0。如 已知，，且，则向量在向量上投影为______ （答：） 4．几何意义：数量积等于模与在上投影积。 5．向量数量积性质：设两个非零向量，，其夹角为，则： ①； ②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角必要非充分条件； ③非零向量，夹角计算公式：；④。如 （1）已知，，如果与夹角为锐角，则取值范畴是______ （答：或且）； （2）已知面积为，且，若，则夹角取值范畴是_________ （答：）； （3）已知与之间关于系式，①用表达；②求最小值，并求此时与夹角大小 （答：①；②最小值为，） 六．向量运算： 1．几何运算： ①向量加法：运用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只合用于不共线向量，如此之外，向量加法还可运用“三角形法则”：设，那么向量叫做与和，即； ②向量减法：用“三角形法则”：设，由减向量终点指向被减向量终点。注意：此处减向量与被减向量起点相似。 如： （1）化简：①___；②____；③_____ （答：①；②；③）； （2）若正方形边长为1，，则＝_____ （答：）； （3）若O是所在平面内一点，且满足，则形状为____ （答：直角三角形）； （4）若为边中点，所在平面内有一点，满足，设，则值为___ （答：2）； （5）若点是外心，且，则内角为____ （答：）； 2．坐标运算：设，则： ①向量加减法运算：，。 如：（1）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限角平分线上 （答：）； （2）已知，，则 （答：或）； （3）已知作用在点三个力，则合力终点坐标是 （答：（9,1