2021年度矩阵理论知识点整理.docVIP

矩阵若方原则型及分解 -矩阵及其原则型 定理1 -矩阵可逆充分必要条件是行列式是非零常数 引理2 -矩阵=左上角元素不为0，并且中至少有一种元素不能被它整除，那么一定可以找到一种与等价使得且次数不大于次数。 引理3 任何非零-矩阵=等价于对角阵是首项系数为1多项式，且 引理4 等价-矩阵有相似秩和相似各阶行列式因子 推论5 -矩阵施密斯原则型是唯一 由施密斯原则型可以得到行列式因子 推论6 两个-矩阵等价，当且仅当它们有相似行列式因子，或者相似不变因子 推论7 -矩阵可逆，当且仅当它可以表达为初等矩阵乘积 推论8 两个等价当且仅当存在一种m阶可逆-矩阵和一种n阶-矩阵使得 推论9 两个-矩阵等价，当且仅当它们有相似初等因子和相似秩 定理10 设-矩阵等价于对角型-矩阵，若将次数不不大于1对角线元素分解为不同一次因式方幂乘积，则所有这些一次因式方幂（相似按照重复次数计算）就是所有初等因子。 初等因子被不变因子唯一拟定但，只要-矩阵化为对角阵，再将次数不不大于等于1对角线元素分解为不同一次方幂乘积，则所有这些一次因式方幂（相似必要重复计算）就为所有初等因子，即不必事先懂得不变因子，可以直接求得初等因子。 矩阵若当原则型 定理1 两个阶数字矩阵A和B相似，当且仅当它们特性矩阵等价 N阶数字矩阵特性矩阵秩一定是n 因而它不变因子有n个，且乘积是A特性多项式 推论3 两个同阶矩阵相似，当且仅当它们有相似行列式因子，或相似不变因子，或相似初等因子。 定理4 每个n阶复矩阵A都与一种若当原则型矩阵相似，这个若当原则型矩阵除去其中若当块排列顺序外是被矩阵A唯一拟定。 求解若当原则型及可逆矩阵Ｐ：依照数字矩阵写出特性矩阵，化为对角阵后，得出初等因子，依照初等因子，写出若当原则型Ｊ，设Ｐ（Ｘ１Ｘ２Ｘ３），然后依照用初等行变换化为阶梯形矩阵，解非齐次方程组时，使增广矩阵秩与系数矩阵秩相似，在拟定自由未知量时，除非零首元外，均可以取为自由变量，运用回代法求通解。得到P（X1X2X3）方阵 用初等行变换化为阶梯形矩阵，解非齐次方程组时，使增广矩阵秩与系数矩阵秩相似，在拟定自由未知量时，除非零首元外，均可以取为自由变量，运用回代法求通解。 矩阵最小多项式 定理1 矩阵A最小多项式整除A任何零化多项式，且最小多项式唯一。 N阶数字矩阵可以相似对角化，当且仅当最小多项式无重根若要证明A可以相似对角化，则需证明A最小多项式无重根 。。 若要证明A可以相似对角化，则需证明A最小多项式无重根 。 定理2 矩阵A最小多项式根一定是A特性值，反之，矩阵Ａ特性值一定是最小多项式根。 求最小多项式：依照数字矩阵写出特性多项式，依照特性多项式得到最小多项式形式，然后依照拟定最小多项式。 矩阵若干分解 设Ａ为ｎ阶复矩阵，则存在酉矩阵Ｑ和上三角阵Ｒ使得Ａ＝ＱＲ 办法：依照数字矩阵列出，正交化单位化后，得到，即依照得R。 奇异值分解 设Ａ是阶复矩阵，是Ａ所有非零奇异值，则存在ｍ阶酉矩阵Ｐ、ｎ阶酉矩阵Ｑ，使得其中，是对角阵，等式是Ａ奇异值分解 对于一种阶复矩阵Ａ来说，ｎ阶方阵是半正定，及特性值是所有不不大于或者等于０，这些特性值平方根便是Ａ奇异值。 求Ａ奇异值分解：依照数字矩阵Ａ得到必要是，否则错误，依照特性矩阵依照特性矩阵求特性值化简矩阵时，只能初等行变换，化为三角阵得到特性值，并计算出每个特性值相应特性向量特性向量赋值时，自由变量是排除第一种和拐角处。自由变量选用直接决定P Q。，则 必要是，否则错误 依照特性矩阵求特性值化简矩阵时，只能初等行变换，化为三角阵 特性向量赋值时，自由变量是排除第一种和拐角处。自由变量选用直接决定P Q。