微积分问题的计算机求解.ppt

2021/3/27 * 5.2曲面积分与MATLAB语言求解5.2.1 第一类曲面积分 其中 为小区域的面积,故又称为对面积的曲面积分。曲面 由 给出,则该积分可转换成x-y平面的二重积分为 2021/3/27 * 例: ％四个平面,其中三个被积函数的值为0,只须计算一个即可。 syms x y; syms a positive; z=a-x-y; I=int(int(x*y*z*sqrt(1+diff(z,x)^2+ diff(z,y)^2),y,0,a-x),x,0,a) I = 1/120*3^(1/2)*a^5 2021/3/27 * 若曲面由参数方程 曲面积分 2021/3/27 * 例: syms u v; syms a positive; x=u*cos(v); y=u*sin(v); z=v;f=x^2*y+z*y^2; E=simple(diff(x,u)^2+diff(y,u)^2+diff(z,u)^2); F=diff(x,u)*diff(x,v)+diff(y,u)*diff(y,v)+diff(z,u)* diff(z,v); G=simple(diff(x,v)^2+diff(y,v)^2+diff(z,v)^2); I=int(int(f*sqrt(E*G-F^2),u,0,a),v,0,2*pi) I = 1/4*a*(a^2+1)^(3/2)*pi^2+1/8*log(-a+(a^2+1)^(1/2)) *pi^2-1/8*(a^2+1)^(1/2)*a*pi^2 2021/3/27 * 5.2.2 第二类曲面积分 又称对坐标的曲面积分 可转化成第一类曲面积分 2021/3/27 * 2021/3/27 * 若曲面由参数方程给出 2021/3/27 * 例: 的上半部,且积分沿椭球面的上面。 ％引入参数方程 x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u), u[0,pi/2], v[0,2*pi]. syms u v; syms a b c positive; x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u); A=diff(y,u)*diff(z,v)-diff(z,u)*diff(y,v); I=int(int(x^3*A,u,0,pi/2),v,0,2*pi) I = 2/5*pi*a^3*c*b 2021/3/27 * 2021/3/27 * 例: 计算梯度,绘制引力线图: [x,y]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); [fx,fy]=gradient(z); fx=fx/0.2; fy=fy/0.2; contour(x,y,z,30); hold on; quiver(x,y,fx,fy) %绘制等高线与 引力线图 2021/3/27 * 绘制误差曲面: zx=-exp(-x.^2-y.^2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.^3+x.^2.*y-4*x.^2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); surf(x,y,abs(fx-zx)); axis([-3 3 -2 2 0,0.08]) figure; surf(x,y,abs(fy-zy)); axis([-3 3 -2 2 0,0.11]) ％建立一个新图形窗口 2021/3/27 * 为减少误差,对网格加密一倍: [x,y]=meshgrid(-3:.1:3,-2:.1:2); z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); [fx,fy]=gradient(z); fx=fx/0.1; fy=fy/0.1; zx=-exp(-x.^2-y.^2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.^3+x.^2.*y-4*x.^2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); surf(x,y,abs(fx-zx)); axis([-3 3 -2 2 0,0.02]) figure; surf(x,y,abs(fy-zy)); axis([-3 3 -2 2 0,0.06]) 2021/3/27 * 4 数值积分问题 4.1 由给定数据进行梯形求积 2021/3/27 * Sum((2*y(1:end-1,:)+