高等数学-多元复合函数的求导法则课件.ppt

2021/3/26 * 第四节 复合函数求导法则 先回忆一下一元复合函数的微分法则: ,则复合函数 对 x 的导数为: 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形,主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道,求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用. 2021/3/26 * 那么为什么还要介绍多元复合函数的微分呢? 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数 如 它是由 复合而成的 由于 f 没有具体给出, 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此要引入多元复合函数的微分法来解决这一问题。 2021/3/26 * 一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 且有链式法则 有增量△u ,△v , 2021/3/26 * ( 全导数公式 ) (△t＜0 时,根式前加“–”号) 2021/3/26 * 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, 设下面所涉及的函数都可微 . 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, 2021/3/26 * 又如, 当它们都具有可微条件时, 有 注意: 这里 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分线相加,连线相乘 与 不同, 2021/3/26 * 设 , 求 令 则 例 解 2021/3/26 * 例2. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/26 * 解 2021/3/26 * 设 求 例 解 2021/3/26 * 设 求 例 解 2021/3/26 * 设 求 自己做 例 解 2021/3/26 * 设函数 均可微, 求 g ? g 例 解 2021/3/26 * 设函数 均可微, 求 g ? g 例 解 2021/3/26 * 为简便起见 , 引入记号 例 . 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 令 则 2021/3/26 * 二、全微分形式不变性 全微分形式不变性的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 2021/3/26 * 利用全微分形式不变性,在逐步作微分运算的过程中,不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理 且作微分运算的结果对自变量的微分 来说是线性的,从而为解题带来很多方便,而且也不易出错。 2021/3/26 * 设 应用全微分形式不变性求 与 比较, 得 例 解 2021/3/26 * 设 应用全微分形式不变性求 与 比较, 得 例 解 2021/3/26 * 总结:关于多元复合函数求偏导问题 这是一项基本技能,要求熟练掌握,尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式: ①用图示法表示出函数的复合关系 ②函数对某个自变量的偏导数的结构 （项数及项的构成） 2021/3/26 * 的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键 ③弄清 仍是复合函数 且复合结构与原来的 f (u,v) 完全相同 即仍是以 u , v 为中间变量,以 x , y 为自变量的复合函数 因此,求它们关于 x , y 的偏导数时必须使链式法则 2021/3/26 * 在具体计算中最容易出错的地方是对 再求偏导数这一步 是与 f ( u , v ) 具有相同结构的复合函数,易被误认为仅是 u 的函数,从而导致漏掉 原因就是不注意 ④求抽象函数的偏导数时,一定要设中间变量 ⑤注意引用这些公式的条件 外层函数可微（偏导数连续） 内层函数可导 ⑥ 的合并问题 视题设条件而定。 2021/3/26 * 三、小结 1、链式法则（分三种情况） （特别要注意课中所讲的特殊情况） 2、全微分形式不变性 （理解其实质） 2021/3/26 * 思考与练习 解答提示: P31 题7 P31 题7; 8(2); P73