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Revised by Hanlin on 10 January 2021
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梯形中添加辅助线的六种常用技巧
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
浙江 唐伟锋
梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形,解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线,将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。一般而言,梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——
一、平移一腰
从梯形的一个顶点作一腰的平行线,将梯形转化为平行四边形和三角形,从而利用平行四边形的性质,将分散的条件集中到三角形中去,使问题顺利得解。
例1、如图①,梯形ABCD中AD∥BC,AD=2cm ,BC=7cm,AB=4cm,求CD的取值范围。
解:过点D作DE∥AB交BC于E,
∵AD∥BC,DE∥AB
∴四边形ABED是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
∴DE=AB=4cm,BE=AD=2cm
∴EC=BC-BE=7-2=5cm
在△DEC中,EC-DE<CD<EC+DE(三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)
∴1cm<CD<9cm。
二、延长两腰
将梯形的两腰延长,使之交于一点,把梯形转化为大、小两个三角形,从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。
例2、如图②,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,求证:梯形ABCD是等腰梯形。
证明:延长BA、CD,使它们交于E点,
∵AD∥BC
∴∠EAD=∠B,∠EDA=∠C(两直线平行,同位角相等)
又∵B=∠C
∴∠EAD=∠EDA
∴EA=ED,EB=EC(等角对等边)
∴AB=DC
∴梯形ABCD是等腰梯形(两腰相等的梯形是等腰梯形)。
三、平移对角线
从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线,与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形(直角三角形、等腰三角形等)。
例3、如图③,已知梯形ABCD中,AD=1.5cm,BC=3.5cm,对角线AC⊥
解:过点D作DE∥AC交BC延长线于E
∵AD∥BC,DE∥AC
∴四边形ACED是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
∴CE=AD=1.5
∵AC⊥BD
∴DE⊥BD
∴S梯形ABCD=(h为梯形的高)
。
四、作高线
从梯形上底的一个顶点(或两个顶点)向下底作高线,将特殊梯形(等腰梯形、直角梯形)转化成矩形和直角三角形。
例4、如图④,已知梯形ABCD中,DC∥AB,DA⊥AB于A,DC=1,DA=2,AB=3,求∠B的度数。
解:过C点作CE⊥AB,E为垂足,
∵DC∥AB,DA⊥AB
∴DA⊥DC
又∵CE⊥AB
∴四边形AECD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
∴AE=DC=1,CE=DA=2
∵AB=3
∴EB=AB-AE=3-1=2=CE
∴∠B=45°(等腰直角三角形锐角度数等于45°)。
五、作对角线
在梯形中将没有画出的对角线作出来,利用特殊梯形对角线的性质(如等腰梯形对角线相等)将题目中的条件进行转化,从而解决问题。
例5、如图⑤,已知梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,延长AB到E,使BE=CD,求证:AC=CE。
证明:连结BD,
∵AD与BC是腰且AD=BC
∴梯形ABCD是等腰梯形(两腰相等的梯形是等腰梯形)
∴AC=BD(等腰梯形两条对角线相等)
∵DC∥AB即DC∥BE,BE=CD
∴四边形DBEC是平行四边形(一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形)
∴BD=CE(平行四边形对边相等)
∴AC=CE。
六、过一顶点和一腰中点作直线
过梯形的一个顶点及一腰中点作直线(具体可利用旋转得到),与梯形底边的延长线相交,构成三个特殊三角形(其中两个成中心对称),从而将问题转化到三角形中进行解决。
例6、如图⑥,已知梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB中点,DE⊥CE,求证:CD=AD+BC。
证明:将△AED绕E点旋转180°到△EBF位置,使AE与BE重合,记D的对应点为F,则BF=AD,ED=EF,∠A=∠EBF,
∵AD∥BC
∴∠A+∠ABC=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠EBF+∠ABC=180°,即FB与BC在同一条直线上
∵CE⊥DE,ED=EF
∴CE是DF的中垂线
∴CD=CF=CB+BF=CB+AD(线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等)。
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