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多目标优化方法 基本概述 几个概念 优化方法 一、 多目标优化基本概述 现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。在日常生 活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优， 往往要求多项指标同 时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个 目标同时达到最优的多目标优化问题。例如：在机械加工时，在进给 切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标： 1)机械加工 成本最低2)生产率低3)刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于 加工余量、刀具强度等约束条件。 多目标优化的数学模型可以表示为： X=[x i,x 2,…,x n ] T n 维向量 min F(X)=[f i(X),f 2(X),…,f n(X)] T- 向量形式的目标 函数 s.t. g i(X) 0,(i=1,2,…,m) h j (X)=0,(j=1,2, …,k) 设计变量应满足的约 束条件 多目标优化问题是一个比较复杂的问题， 相比于单目标优化问题，在 多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意 两个解的优劣。 二、 多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。 最优解X*:就是在乂所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值 要小即f(X *) f(X)，则X*为优化问题的最优解。 劣解X :在D中存在X使其函数值小于解的函数值，即f(x) f(X *), 即存在比解更优的点。 非劣解X*:在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X *). 如图：在［0,1］中 X*=1为最优解 在［0,2］ 中X*=a为劣解 在［1,2］ 中X*=b为非劣解 多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小， 而劣解没有 意义，所以通常去求其非劣解来解决问题。 三、多目标优化方法 多目标优化方法主要有两大类： 直接法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解 将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 间接法 女口 ：主要目标法、统一目标法、功效系数法等。 将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。 女口：分层系列法等。 1、 主要目标法 求解时从多目标中选择一个目标作为主要目标， 而其他目标只需 满足一定要求即可，因此可将这些目标转化成约束条件， 也就是用约 束条件的形式保证其他目标不致太差，这样就变成单目标处理方法。 例如：多目标函数f 1(X),f 2(X),.?…,f n(X)中选择fk(X)作为主 要目标，这时问题变为求 min f k(x) D={x|f min f i(X) f ma》,D为解所对应的其他目标函数应满足 上下限。 2、 统一目标法 通过某种方法将原来多目标函数构造成一个新的目标函数，从而 将多目标函数转变为单目标函数求解。 线性加权和法 根据各目标函数的重要程度给予相应的权数， 然后各目标函数与 权数相乘再求和即构成单目标函数。例如：根据各目标函数 fl(X),f 2(X),…,f n(X)的重要程度，对应确定一组权数3 1,3 2,3 n n 进行构造 f(X)= 3 if 1+3 2f 2+…+ 3 n f n,其中 3 1, 3 0，于是求 f(X) 1 的最优解即为多目标函数的最优解。(重点是权数的确定) 下面介绍两种确定权数的方法： 1、 容限法。求出各目标函数在区域的变化范围 af(x) b,则取△ 二丄2为其容限，则权数为3 =厶。这种方法目的是在评价函数中使 2 子目标在数量级上达到统一平衡。 2、 求出各目标函数的极小值fi*，然后分别取倒数作为各自的权数。 理想点法 一般很难使各子目标函数同时达到最优， 但是可以使各子目标尽 可能接近目标，则可较好的求出非劣解，先用单目标优化法求出各自 的最优点X*和最优值f「，构造各评价函数f(X)= { “ fi(X) fi*2}1/2, 1 然后求极值min f，变为单目标优化问题。 在理想点法基础上如果再引入权数，则称为平方加权法。 3、 功效系数法 功效系数法又叫功效函数法， 它是根据多目标规划原理， 对 每一项评价指标确定一个满意值和不允许值，以满意值为上限， 以不允许值为下限.计算各指标实现满意值的程度， 并以此确定 各指标的分数，再经过加权平均进行综合， 从而评价被研究对象 的综合状况。运用功效系数法进行业绩评价， 企业中不同的业绩 因素得以综合，包括财务的和非财务的、定向的和非定量的。 多目标优化问题中各单目标函数要求不一，有的要求极大 值，有的要求极小值，有的要求一个合适值，为了反映这些要求 的不同，弓I入功效函数di，其值即为功效系数，规定 di € (0,1), 当f i满意时，di=1; fi不满意时，di=0;请他情况取0-1之间的 的数。这样组成评价函数d n d1d2...dn , d=1则最满意，d=0则有