二自由度系统的振动.ppt

2021/3/27 * 定义: H(ω)为系统的位移频响函数矩阵。 6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动 则 其元素hij(ω)反映了在系统第j个自由度上施加单位正弦激励sinωt后,第i个自由度的稳态位移响应幅值。因此, H(ω)又称为动柔度矩阵。 动刚度矩阵Z(ω)或频响函数矩阵H(ω)在频率域反映了系统的全部动态特性。从实验角度来说,多自由度系统的频响函数矩阵比动刚度矩阵易于测取,所以获得广泛应用。 2021/3/27 * 6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动 6.3.2 求解二自由度无阻尼受迫振动 （模态分析方法） f2 f1 m1 u1 u2 k1 m2 k2 m1、m2上分别作用简谐激励力f1=F1sinωt 和 f2=F2sinωt。 运动微分方程为 二阶常系数线性非齐次微分方程 通解为两种固有振动的叠加,特解为稳定的等幅振动,频率与激振力相同。 设对应齐次方程的解为 B1、B2待定 2021/3/27 * 6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动 代入微分方程组得到 由 （固有振型矩阵） 2021/3/27 * 6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动 坐标变换: （i=1,2） 代入原微分方程得到: 两边左乘 得到： （i=1,2） （对角阵） （对角阵） 解耦 （表示矢量ΦTf的第一项） 为在坐标系 q 下的两个单自由度受迫振动的微分方程。 2021/3/27 * 6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动 坐标q下的运动初始条件: （利用求解单自由度系统强迫振动的方法） 坐标反变换: （i=1,2） （得到在物理坐标系下的解） 2021/3/27 * 第六章:二自由度系统的振动 在实际工程中,仅用一个独立坐标常常难以正确描述系统的运动。本章介绍二自由度系统的动力学问题。 最简单的多自由度系统是二自由度系统。然而自由度由一增加到二,会产生质的变化,带来一系列新的物理概念。而二自由度和三自由度以及更高自由度的区别,仅仅在数量上和系统的复杂程度上。 因此二自由度系统是本章的重要基础部分。 2021/3/27 * 建立系统微分方程 无阻尼二自由度系统自由振动 固有频率和主振型 第六章:二自由度系统的振动 2021/3/27 * u2 m2 f2 f1 m1 u1 6.1 建立系统微分方程组 u1 u2 c3 c2 m1 k1 c1 m2 k2 k3 假设: k1、c1拉伸;k2、c2压缩;k3、c3压缩 6.1.1 分离体受力分析方法-牛顿定律 2021/3/27 * 6.1 建立系统微分方程组 写成矩阵形式: 初始条件: 对三个以上自由度系统,可以用同样的方法得到微分方程组。 简写为 质量矩阵 阻尼矩阵 刚度矩阵 位移向量 激励向量 加速度向量 速度向量 2021/3/27 * 2021/3/27 * 6.1 建立系统微分方程组 6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方程为基础导出振动方程 2021/3/27 * 6.1 建立系统微分方程组 6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方程为基础导出振动方程 2021/3/27 * 二自由度微分方程组特点: 1、形式上与单自由度系统受迫振动微分方程相同。但M,K,C不是常数,而是矩阵。 2、通常K,C矩阵不是对角阵,说明系统运动是关联的。这种运动的关联称为耦合,是二自由度区别于单自由度的基本特征 矩阵形式: 6.1 建立系统微分方程组 2021/3/27 * 6.2 无阻尼多自由度系统自由振动 6.2.1坐标的选择与方程耦合 2021/3/27 * 6.2 无阻尼多自由度系统自由振动 6.2.1 二自由度无阻尼系统固有振动 m1 u1 u2 k1 m2 k2 k3 微分方程组: 由于单自由度无阻尼系统自由振动是简谐振动,所以可以设想二自由度无阻尼系统也有类似的作简谐振动的自由振动。 由于系统有两个自有度,它们的各自运动未必有相同的幅值,所以方程解的形式为: 其中, u(t)为解的二维向量,φ表示振幅的二维向量。 频率、相位相同,但振幅不同。 2021/3/27 * 6.2 无阻尼多自由度系统自由振动 将解的形式代入到方程组得到: 要使方程任意时刻成立,必须: 即 要使方程组有非零解,则它的系数行列式必须为零,即 行列式展开得到: 可看作是关于ω2的二次方程,解得一对根为: 为两个未知数的齐次线性方程组。 2021/3/27 * 6.2 无阻尼多自由度系统自由振动 将两个根代回到系统的齐次线性方程组得到非零解为: 因此,二自由度无阻尼系统可能产生的振动为: （r =1,2） 说明,二自由度无阻尼系统的自由振动响应是由两种不同频率ω1、 ω2的简谐振动的合成。（ ω1 ω2 ） 分别将ω1和ω2称为系统的第一阶