导数常见题型与解题方法总结[借鉴].docxVIP

办法收拾 | 学习参阅 collection of questions and answers 导数题型总结 1、别离变量-----用别离变量时要特别注意是否需分类评论（0,=0,0） 2、改变主元-----已知谁的规模就把谁作为主元 3、根散布 4、判别式法-----结合图画剖析 5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（注重单调区间）与界说域的联系 （2）端点处和极点是最值地点 一、根底题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒建立 此类问题发起按以下三个过程进行处理： 第一步：令得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 第三种：改变主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的规模就把谁作为主元）。 例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒建立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数， （1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值规模； （2）若对满意的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值. 解:由函数 得 （1） 在区间上为“凸函数”， 则 在区间[0,3]上恒建立 解法一：从二次函数的区间最值下手：等价于 解法二：别离变量法： ∵ 当时, 恒建立, 当时, 恒建立 等价于的最大值（）恒建立， 而（）是增函数，则 (2)∵当时在区间上都为“凸函数” 则等价于当时 恒建立 改变主元法 再等价于在恒建立（视为关于m的一次函数最值问题） 例2：设函数 （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对恣意的不等式恒建立，求a的取值规模. 解：（Ⅰ） 3a a a 3a 令得的单调递加区间为（a,3a） 令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+） ∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b. （Ⅱ）由||≤a，得：对恣意的恒建立① 则等价于这个二次函数 的对称轴 （放缩法） 即界说域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 上是增函数. （9分） ∴ 所以，对恣意，不等式①恒建立，等价于 又∴ 点评：注重二次函数区间最值求法：对称轴（注重单调区间）与界说域的联系 例3：已知函数图象上一点处的切线斜率为， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）当时，求的值域； （Ⅲ）当时，不等式恒建立，求实数t的取值规模。 解：（Ⅰ）∴， 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递加，在上单调递减，在上单调递减 又 ∴的值域是 （Ⅲ）令 思路1：要使恒建立，只需，即别离变量 思路2：二次函数区间最值 二、参数问题 1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的规模 解法1：转化为在给定区间上恒建立， 回归根底题型 解法2：使用子区间（即子集思维）；首要求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时必定要看清楚“在（m , n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a , b）”，要弄清楚两句话的差异：前者是后者的子集 例4：已知，函数． （Ⅰ）假如函数是偶函数，求的极大值和极小值； （Ⅱ）假如函数是上的单调函数，求的取值规模． 解：. （Ⅰ）∵ 是偶函数，∴ . 此刻，， 令，解得：. 列表如下： (－∞,－2) －2 (－2,2) 2 (2,+∞) + 0 － 0 + 递加 极大值 递减 极小值 递加 可知：的极大值为， 的极小值为. （Ⅱ）∵函数是上的单调函数， ∴，在给定区间R上恒建立判别式法 则 解得：. 综上，的取值规模是. 例5、已知函数 （I）求的单调区间； （II）若在[0，1]上单调递加，求a的取值规模。子集思维 解：（I） 1、 当且仅当时取“=”号，单调递加。 2、 单调增区间： 单调增区间： （II）当 则是上述增区间的子集： 1、时，单调递加 契合题意 2、， 综上，a的取值规模是[0，1]。 2、题型二：根的个数问题 题1 函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点，即方程根的个数问题 解题过程 第一步：画出两个图画即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”仍是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的联系； 第三步：解不等式（组）即可。 例6、已知函数，，且在区间上为增函数． 求实数的取值规模； 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值规模． 解：（1）由题意 ∵在区间上为增函数， ∴在区间上恒建立（别离变量法） 即恒建立，又，∴，故∴的取值规模为 （2）设， 令得或由（1）知， ①当时，，在R上递加，明显不合题意… ②当时，，随 的改变状况如下表： — ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因为，欲使与的图象有三个