6.2.3向量的数乘运算.ppt

6.2.3 向量的数乘运算 问题：一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为 ， 那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位 移对应的向量怎样表示？是 吗？兔子在相反方向 上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎 样表示？是 吗? 请同学们自己思考. 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义． 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 3.理解两个向量共线的含义. 1.运用向量的数乘运算培养学生的数学运算能力,数乘向量可以判断几何中三点共线和两直线平行等问题，培养学生的逻辑推理能力。 体会课堂探究的乐趣， 汲取新知识的营养， 让我们一起 吧！ 进 走 课 堂 向量数乘的定义 思考1：已知非零向量 ，如何求作向量 ＋ ＋ 和（－ ）＋（－ ）＋ （－ ）？ 提示: O A B C N M O P （－ ）＋（－ ）＋（－ ） 思考2：向量 ＋ ＋ 和(- )+(- )+(- )分别如何简化其表示形式？ 提示: ＋ ＋ 记为3 ， （－ ）＋（－ ）＋（－ ）记为－3 . 思考3：向量3 和－3 与向量 的大小和方向有什么关系？ O A B C O M N P 思考4：设 为非零向量，那么 还是向量吗？它们分别与 向量 有什么关系？ 提示: 思考5：一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算 叫做向量的数乘.记作λ ，该向量的长度及方向与向量 有什么关系？ 提示: （1）|λ |=|λ|| |； （2）λ0时,λ 与 方向相同； λ0时,λ 与 方向相反； λ=0时,λ = . 【即时训练】 C 向量数乘的运算律及共线向量基本定理 思考1：你认为－2×（5 ），2 ＋2 ， 可分别转化为什么运算？ 提示: -2× (5 )= -10 ； 2 ＋ 2 = 2( + )； (3＋ ) =3 ＋ 思考2：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μ )， (λ＋μ) ，λ( ＋ )分别等于什么？ = 提示: B C A D E 提升总结：向量数乘的运算律 思考3：对于向量 （ ）和 ，若存在实数λ， 使 ，则向量 与 的方向有什么关系？ 提示：共线 思考4：若向量 （ ）与 共线，则一定存在实 数λ，使 成立吗？ 提示：一定存在 思考5：综上可得向量共线定理：向量 （ ）与 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 =λ . 若 ＝ ，上述定理成立吗？ 提示：不成立 【即时训练】 B 例1.计算 （1）（－3）×4 ； （2）3（ ＋ ）－2（ － ）－ ； （3）（2 ＋3 － ）－（3 －2 ＋ ）. 【解析】 向量与实数之间可以像多项式一样进行运算. 【变式练习】 例2.如图，□ABCD的两条对角线相交于点M，且 = ， = ，你能用 , 表示 ， 吗？ M A B D C 【变式练习】 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在线段BD上，且 有BN= BD，求证：M，N，C三点共线. 提示：设 ， 则 所以M，N，C三点共线. 例3.如图，已知任意两个非零向量 试作 你能判断A，B，C三点之间的 位置关系吗？为什么？ O A B C 分析： A，B，C三点共线. 【解析】分别作向量 ，过点A，C作直线AC.观察发现，不论向量 怎样变化，点B始终在直线AC 上，猜想A，B，C三点共线. 事实上，因为 1. 向量数乘 的定义. 2.向量数乘的运算律. 3.共线向量定 理. 1.向量的数乘运算可类似于代数多项式运算. 2.用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表 示即可. 数学抽象： 向量数乘概念 逻辑推理： 向量共线的充要条件及其应用 数学运算： 向量的线性运算 向量的数乘运算中，“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向