地图学-地图的数学基础.pptx

地 图 学Cartography地图的数学基础第二章 地图投影的基本原理上一讲回顾理解天文经纬度、 大地经纬度、 地心经纬度的异同？如何理解“参心坐标系”与“地心坐标系”？4132本节内容地图投影基本概念地图投影变形地图投影基本方法地图投影的分类 将椭球面上的客观世界表现在有限的平面上,首先要实现由球面到平面的转换.地球地图如何转换?沿经线直接展开?地图平面地球椭球面B , Lx，y地图投影 可见,地球椭球面是不可展开的面。无论如何展开都会产生褶皱,拉伸或断裂等无规律变形,无法绘制科学,准确的地图。因此需要解决 球面与平面之间的矛盾—— 将地球椭球面上的点投影到平面上的点的方法。 地图投影地图投影实质 地图投影的实质就是按照一定的数学法则，将地球椭球面上的经纬网转换到平面上，建立地面点位的地理坐标（ ）与地图上相对应的平面直角坐标（X,Y）之间一一对应的函数关系。用数学式表达这种关系，就是： 地理坐标系统 投影坐标系2. 地图投影的变形地图投影 ----解决了球面与平面之间的矛盾 ----平面上无法表示地球各个部分，存在着变形。2. 地图投影的变形 地图投影变形的概念 由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，无论采用什么投影，投影后经纬网形状与球面上的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发生了变形，而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物也必然发生了变形。为正确使用地图，必须了解投影后产生的变形，所以变形问题是地图投影的重要组成部分。2 地图投影的变形由球面向平面投影时引起的点、线、面的变化。长度变形角度变形面积变形2 地图投影的变形变形椭圆极值长度比和主方向投影变形的性质与大小长度比与长度变形面积比和面积变形角度变形标准点、标准线和等变形线XCMKyxNBAYJOCBADDWEOX’C’M’K’y’x’B’θA’SY’O’J’D’2.1 变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。为经线长度比；为纬线长度比XCMKyxBAYJODX’C’M’K’y’x’B’θA’Y’O’J’D’2.1 变形椭圆代入： X2 + Y2 = 1，得 该方程表明: 地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即： 以O为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆。 主方向（底索定律）：无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍然保持其正交关系。在投影后仍保持正交的一对线的方向称为主方向。取主方向为作为微分椭圆的坐标特殊方向据阿波隆尼定理，有m2 + n2 = a2 + b2m·n·sinq = a·b 长轴方向（极大值）a 短轴方向（极小值）b经线方向 m ；纬线方向 n主方向dbaθOmd’n阿波隆尼定理(Apollonius) 椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和；两个共轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘积。有:m2 + n2 = a2 + b2m·n·sinq = a·b 椭圆内任一条直径d的平行弦中点在椭圆内的轨迹形成另一直径d ′ ， 则d ′称为d的共轭直径。2.1 变形椭圆结论：微分圆长、短半轴的大小，等于该点主方向的长度比。即，如果一点上主方向的长度比（极值长度比）已经确定，则微分圆的大小和形状即可确定。变形椭圆形状显示投影变形特征等角等积等距任意2.1 变形椭圆变形椭圆的应用表示一点的变形扁平程度反映角度变形大小一组变形椭圆反映全区域变形情况2.2 投影变形的性质和大小 由球面向平面投影时引起的经纬网几何特征的变化。长度变形角度变形面积变形消除、减少变形？1、长度比与长度变形原面与投影面微分关系长度比公式：长度变形公式：长度变形是所有投影上都存在的最基本的变形；因此而引起面积和角度的变形。 ，表明投影后长度增加了； ，表明投影后长度缩短了； ，表明无长度变形。 长度比是一个变量，随点位不同而变化，在同一点上随方向变化而变化。 任何一种投影都存在长度变形。长度变形是所有投影都存在的最基本的变形；因此而引起面积和角度的变形。面积比公式：面积变形公式：2、面积比与面积变形 ，表示投影后面积增大； ，表示投影后面积缩小； ，表示面积无变形。 面积比或面积变形也是一个变量，随点位的变化而变化。 3、角度变形X’XA’y’AK’Kyα’x’αxμ’μYY’O’Oα1α1’A1角度变形公式：A1’角度变形也是一个变量，它随点位的变化而变化。3、角度变形2.3 标准点、标准线和等变形线标准点：地图投影面上没有任何变形的点，即投影面与地球体面相切的点。标准线：地图投影面上没有任何变形的一种线，分标准纬线和标准经线。等变形线：投影面