复变函数与积分变换重要知识点归纳[汇编].docxVIP

精品资源·有用参阅品 概括总结·汇编收拾 Summary compilation 复变函数温习要点 (一)复数的概念 1.复数的概念：，是实数, .. 注：一般两个复数不比较巨细，但其模（为实数）有巨细. 2.复数的表明 1）模：； 2）幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是坐落中的幅角。 3）与之间的联系如下： 当 ； 当； 4）三角表明：，其间；注：中心一定是“+”号。 5）指数表明：，其间。 (二) 复数的运算 1.加减法：若，则 2.乘除法： 1）若，则 ； 。 2）若, 则 ； 3.乘幂与方根 若，则。 若，则（有个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：，在几许上能够看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射.2．复初等函数1）指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。注：是以为周期的周期函数。（留意与实函数不同） 对数函数： （多值函数）；主值：。（单值函数）的每一个主值分支在除掉原点及负实轴的平面内处处解析，且；注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：；注：在除掉原点及负实轴的平面内处处解析，且。4）三角函数：在平面内解析，且注：有界性不再建立；（与实函数不同） 双曲函数 ； 奇函数，是偶函数。在平面内解析，且。 （四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：=； 2）区域可导： 在区域内点点可导。 2．解析函数的概念 1）点解析： 在及其的邻域内可导，称在点解析； 2）区域解析： 在区域内每一点解析，称在区域内解析； 3）若在点不解析，称为的奇点； 3．解析函数的运算规律：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件 1．函数可导的充要条件：在可导 和在可微，且在 处满意条件： 此刻， 有。 2．函数解析的充要条件：在区域内解析 和在在内可微，且满意条件：； 此刻。 留意： 若在区域具有一阶接连偏导数，则在区域内是可微的。因此在运用充要条件证明时，只需能阐明具有一阶接连偏导且满意条件时，函数一定是可导或解析的。 3．函数可导与解析的判别办法 1）使用界说 （标题要求用界说，如第二章习题1） 2）使用充要条件 （函数以方式给出，如第二章习题2） 3）使用可导或解析函数的四则运算定理。（函数是以的方式给出，如第二章习题3） （六）复变函数积分的概念与性质 复变函数积分的概念：，是润滑曲线。注：复变函数的积分实践是复平面上的线积分。 复变函数积分的性质 （与的方向相反）； 是常数； 3） 若曲线由与衔接而成，则。 3．复变函数积分的一般核算法 1）化为线积分：；（常用于理论证明） 2）参数办法：设曲线： ，其间对应曲线的起点，对应曲线的结尾，则 。 （七）关于复变函数积分的重要定理与定论 1．柯西—古萨根本定理：设在单连域内解析，为内任一闭曲线，则 2．复合闭路定理： 设在多连域内解析，为内恣意一条简略闭曲线，是内的简略闭曲线，它们互不包括互不相交，而且以为鸿沟的区域全含于内，则 ① 其间与均取正向； ② ，其间由及所组成的复合闭路。 3．闭路变形原理 ： 一个在区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因在内作接连变形而改动它的值，只需在变形过程中不通过使不解析的奇点。 4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设在单连域内解析，为在内的一个原函数，则 阐明：解析函数沿非闭曲线的积分与积分途径无关，核算时只需求出原函数即可。 5。 柯西积分公式：设在区域内解析，为内任一正向简略闭曲线，的内部彻底归于，为内恣意一点，则 6．高阶导数公式：解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数为 其间为的解析区域内环绕的任何一条正向简略闭曲线，而且它的内部彻底归于。 7．重要定论： 。 （是包括的恣意正向简略闭曲线） 8．复变函数积分的核算办法 1）若在区域内处处不解析，用一般积分法 2）设在区域内解析， 是内一条正向简略闭曲线，则由柯西—古萨定理， 是内的一条非闭曲线，对应曲线的起点和结尾，则有 3）设在区域内不解析 曲线内仅有一个奇点：（在内解析） 曲线内有多于一个奇点：（内只要一个奇点） 或：（留数根本定理） 若被积函数不能表明成，则须改用第五章留数定理来核算。（八）解析函数与谐和函数的联系1．谐和函数的概念：若二元实函数在内有二阶接连偏导数且满意，为内的谐和函数。2．解析函数与谐和函数的联系 解析函数的实部与虚部都是谐和函数，并称虚部为实部的共轭谐和函数。 两个谐和函数与构成的函数纷歧定是解析函数；可是若假如满意柯西— 黎曼方程，则一定是解析函数。 3．已知解析函数的实部或虚部，求解析函数的办法。 1）偏微分法：若已知实部，使用条件，得； 对两头积分，得 （*） 再