计数原理讲解.ppt

5.有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加． (1)若只需一人参加，有多少种不同方法？ (2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？ (3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？ 1．两个计数原理的使用方法 (1)合理分类，准确分步 处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，接下来要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)．也就是要确定一个合理的分类标准．分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性． (2)特殊优先，一般在后 解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想． (3)分类讨论，数形结合，转化与化归 分类讨论就是把一个复杂的问题，通过正确划分，转化为若干个小问题予以击破，这是解决计数问题的基本思想． 数形结合，转化与化归也是化难为易，化抽象为具体，化陌生为熟悉，化未知为已知的重要思想方法，对解决计数问题至关重要． ◎有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？ 【错解】　第一步，种植A试验田有4种方法； 第二步，种植B试验田有3种方法； 第三步，种植C试验田有3种方法； 第四步，种植D试验田有2种方法； 由分步乘法计数原理知，共有N＝4×3×3×2＝72种种植方法． 【错因】　若按A、B、C、D的顺序依次种植作物，会导致D试验田的种植数受C试验田的影响，情况复杂．实际上种植C、D两块试验田再作为一步，用分类加法计数原理求解． 【正解】　方法一：第一步，第二步与错解相同． 第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3种种植方法． 若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D也有2种种植方法，共有2×2＝4种种植方法． 由分类加法计数原理知，有3＋4＝7种方法． 第四步，由分步乘法计数原理有N＝4×3×7＝84种不同的种植方法． 方法二：(1)若A、D种植同种作物，则A、D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36种种植方法． (2)若A、D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种种植方法． 综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84种种植方法. 两个计数原理的综合应用 1．应用两个计数原理应注意的问题 (1)分类要做到“ ”，分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“ ”——完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 不重不漏 步骤完整 1．由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数字的两位数的个数是(　　) A．11　　　　　　　 B．12 C．30 D．36 解析：　个位数字有6种选法，十位数字有5种选法，由分步乘法计数原理知，可组成6×5＝30个无重复数字的两位数． 答案：　C 2.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(　　) A．96 B．84 C．60 D．48 解析：　方法一：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与A地种相同的花，则C地有1种，D地有3种；若C地与A地种不同花，则C地有2种，D地有2种，即不同种法总数为N＝4×3×(1×3＋2×2)＝84种． 方法二：若种4种花有4×3×2×1＝24种；若种3种花，则A和C或B和D相同，有2×4×3×2＝48种；若种2种花，则A和C相同且B和D相同，有4×3＝12种． 共有N＝24＋48＋12＝84种． 答案：　B 3．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种． 解析：　如下图： 同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法． 答案：　10 4．（贺卡问题）同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人写的贺年卡，求4张贺年卡不同的分配方式有多少种？ 解析：　方法一：对4人分别编1,2,3,4四个号，对四张贺年卡也编上1,2,3,4