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20XX ? Knowledge Points 知识点汇编 双曲线知识点 辅导教师：郑军 双曲线的界说： 榜首界说：到两个定点F1与F2的间隔之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨道（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）间隔之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|. 当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表明焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表明焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨道是一向线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨道不存在. 第二界说： 动点到一定点F的间隔与它到一条定直线l的间隔之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨道是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线 双曲线的规范方程： （a＞0，b＞0）(焦点在x轴上)； （a＞0，b＞0）(焦点在y轴上)； 假如项的系数是正数，则焦点在x轴上；假如项的系数是正数，则焦点在y轴上. a不一定大于b. 与双曲线共焦点的双曲线系方程是 双曲线方程也可设为： 例题：已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且过点，求双曲线的轨道方程。 点与双曲线的方位联系，直线与双曲线的方位联系： 点与双曲线：点在双曲线的内部点在双曲线的外部点在双曲线上 直线与双曲线： （代数法） 设直线，双曲线联立解得 时，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时直线与双曲线没有交点； 时，存在时，若，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若， 时，，直线与双曲线相交于两点；时，，直线与双曲线相离，没有交点；时，直线与双曲线有一个交点；若不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的方位联系：设直线过定点，双曲线 .当点在双曲线内部时： ，直线与双曲线两支各有一个交点； ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 或或不存在时直线与双曲线的一支有两个交点； 2).当点在双曲线上时： 或，直线与双曲线只交于点； 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； （）或 （）或或不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当时， 或不存在，直线与双曲线只交于点； 或时直线与双曲线的一支有两个交点； 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点在双曲线外部时： 当时， ，直线与双曲线两支各有一个交点； 或或不存在，直线与双曲线没有交点； 当点时， 时，过点的直线与双曲线相切 时，直线与双曲线只交于一点； 几许法：直线与渐近线的方位联系 例：过点的直线和双曲线，仅有一个公共点，求直线的方程。 双曲线与渐近线的联系： 若双曲线方程为渐近线方程： 若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程： 若渐近线方程为双曲线可设为, . 若双曲线与有公共渐近线 则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上） 双曲线与切线方程： 双曲线上一点处的切线方程是. 过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是. 双曲线与直线相切的条件是. 双曲线的性质： 双曲线 规范方程（焦点在轴） 规范方程（焦点在轴） 界说 榜首界说：平面内与两个定点，的间隔的差的绝对值是常数（小于）的点的轨道叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的间隔叫焦距。 第二界说：平面内与一个定点和一条定直线的间隔的比是常数，当时，动点的轨道是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。 规模 ， ， 对称轴 轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为 对称中心 原点 焦点坐标 焦点在实轴上，；焦距： 极点坐标 （,0） (,0) (0, ,) (0，) 离心率 ， ， e越大则双曲线开口的开阔度越大 准线方程 准线笔直于实轴且在两极点的内侧；两准线间的间隔： 极点到准线的间隔 极点（）到准线（）的间隔为极点（）到准线（）的间隔为 焦点到准线的间隔 焦点（）到准线（）的间隔为焦点（）到准线（）的间隔为 渐近线方程 () () 共渐近线的双曲线系方程 （） （） 直线和双曲线的方位 双曲线与直线的方位联系：使用转化为一元二次方程用判别式确认。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长通径： 过双曲线上一点的切线 或使用导数 或使用导数 七、 弦长公式： 若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且别离为A、B的横坐标，则，若别离为A、B的纵坐标，则。 通径的界说：过焦点且笔直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。 若弦AB地点直线方程设为，则＝。 特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，使用第二界说求解