高一数学必修1.4.docx

高一上学期数学知识点总结(必修1、4) 一、集合与元素 1、 集合与元素概念 一般，我们把研究对象称为元素，把元素组成的总体叫集合 2、 集合的三种特性 （1） 确定性。一个元素a与集合A的关系，要么 ，要么 ，两者必居其一，并且只居其一； （2） 互异性。就是指集合中的所有的元素彼此都不相同； （3） 无序性。集合中的元素可以随意排列顺序。 3、 集合的表示方法 （1） 语言描述法。比如集合 用语言描述法表示为“小于10的正奇数组成的集合” （2） 列举法。例如 、 、 （3） 描述法。将集合中所有元素的共有特性用数学语言表示出来。例如 或者 4、 常用数集的简称 （1） 自然数集（非负整数集），记为N；（注意集合N中的元素为0，1，2，3，4，5，...） （2） 正整数集，记为 ；（注意集合 中的元素为1，2，3，4，5，...） （3） 整数集，记为Z； （4） 有理数集，记为Q； （5） 实数集，记为R； 5、 集合的形式有数的集合、点的集合、集合的集合（其中数的集合、点的集合常用） 6、子集：对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称集合A为集合B的子集，记为 （或 ） 7、空集：不含任何元素的集合叫空集，记为 。注意，空集是任何集合的子集 8、子集的性质：①任何一个集合都是它自身的子集②若 9、真子集：若集合 ，且 ，那么集合A是集合B的真子集，记为A B 。 注意空集是任何非空集合的真子集 10、元素与集合的关系有“属于”与“不属于”这两种，用符号 表示 11、集合与集合的关系有“包含”、“不包含”这两种，用符号 、 表示； 其中“包含”有“真包含”和“相等”两种，用符号 、 = 13 、并集：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的并集，用符号表示 14 、交集：由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的交集，用符号表示 2、 函数概念 一、映射 （一）映射：设 、 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 ,对 中的任意一个元素 ，在 中有一个且仅有一个元素 与 对应，则称 是集合 到集合 的映射．记为： ， 这时称 是 在映射 的作用下的象，记作 ，于是 ． 称作 的原象． 集合 叫做映射 的定义域（函数定义域的推广），所有象 构成的集合叫做映射 的值域，记作 ． 注： 1． 一对一、多对一是映射，一对多不是映射 2． 集合 中的元素一定有象，集合 中的元素不一定有原象． （二）一一映射：如果 是 到 的一个映射，并且对于集合 中的任意一个元素，在集合 中有且只有一个原象． （三）映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．函数是数集到数集的映射． 二、分段函数 ：在函数的定义域内，对于自变量 的不同取值区间，有着不同的对应法则． 注： ①分段函数是一个函数 ②分段函数的定义域是自变量 的取值区间的 并集 ，值域是各个区间对应的值域的 并集 ． ③解决分段函数的重要策略就是分类讨论． 三、函数的单调性 1.增函数：一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ．如果取区间 中的任意两个 ，若 ， ，则称函数 在区间 上是增函数． 2.减函数：一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ．如果取区间 中的任意两个 ，若 ， ，则称函数 在区间 上是减函数． 3.对勾函数 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数； 一般地，对勾函数 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数； 4.对于复合函数 ，其中 称为外函数， 称为内函数． 当内外函数单调性相同时， 为增函数; 当内外函数单调性相反时， 为减函数 ． 5.设 ，那么 当 ，则 在 上是 增函数； 当 ，则 在 上是减函数 1. 奇函数与偶函数的定义 : 　 设 y=f(x) ， x ∈ A ， 如果对于任意 ∈ A ，都有 ，则称 y=f(x) 为偶函数。 设 y=f(x) ， x ∈ A ， 如果对于任意 ∈ A ，都有 ，则称 y=f(x) 为奇函数。 如果函数 是奇函数或偶函数，则称函数 y= 具有奇偶性。 2. 性质 ： ①函数具有奇偶性的必要条件是其 定义域关于原点对称 ， ② y=f(x) 是偶函数 y=f(x) 的图象关于 轴对称 , 　　 y=f(x) 是奇函数 y=f(x) 的图象关于原点对称 , ③ 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同 ， 3. 函数对称的性质（课本以外） （1）针对一个函数的对称性 若 ，则函数 的图象关于直线 对称 若 ，则函数 的图象关于直线 对称 若 ，则函数 的图象