《数学》第五章“三角的函数”教材分析与教学建议.doc

第 PAGE 页 《数学》第五章“三角函数”教材剖析与教学建议 　　在学习三角函数之前，学生已经学习了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数与对数函数，对函数有了一定认识。三角函数是学生遇到第一个周期性函数，是中等教育阶段最后一个基本初等函数。学完本章以后，学生应对函数一般内容，如函数符号、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等建立更完整认识。 　　初中数学教学中已有锐角三角函数概念，但没有将其作为一种函数来教学，关注只是三角函数值，主要利用锐角三角函数定义解决直角三角形中有关边角问题。到了中职教育阶段，需要从函数角度来认识三角函数，落实大纲中与三角函数部分相关教学内容与要求。 　　本章首先对角概念进行推广，并通过弧度制对角度量建立角与实数之间一一对应关系，为学生理解三角函数是以实数为自变量函数奠定基础；为了角概念推广需要，把角放到平面直角坐标系中进行研究，不仅建立了角大小与终边位置关系，而且通过角终边上点坐标来定义任意角三角函数，并利用角终边上点坐标正负直观性，判断三角函数值符号，得到特殊角三角函数值，建立同角三角函数两个基本关系式以及诱导公式；借助三角函数图像以及诱导公式帮助学生从“形”与“数”两方面理解正弦函数、余弦函数变化规律；最后利用计算器及诱导公式，能由已知三角函数值求出指定范围角。 　　本章内容分为五个部分：角概念推广，弧度制，任意角三角函数概念及相关公式，正弦函数、余弦函数图像与性质，已知三角函数值求角。 　　《中等职业学校数学教学大纲》建议本章设置18课时，其中新授部分16课时，复习部分2课时。 　　《大纲》对本章知识内容学习要求包括：4项“了解”（角概念推广、诱导公式、余弦函数图像与性质、已知三角函数值求指定范围内角）；4项“理解”（弧度制，任意角正弦函数、余弦函数与正切函数，同角三角函数基本关系式，正弦函数图像与性质）；2项“掌握”（利用计算器求三角函数值及利用计算器求角度）。 　　本章可看作是第三章（函数）延伸与拓展，在教学中要注意让学生体会三角函数与一般函数之间关系，即个性与共性之间关系。同时，在本章教学中，要特别注意数学思想方法渗透，如突出“数形结合”思想方法。由于三角函数基础是几何中相似形与圆，而研究方法又主要是代数，所以教学中既要“以形助数”，突出几何直观帮助学生理解抽象概念，又要“以数助形”，通过代数性质反映图像变化规律。再如，由锐角三角函数值到任意角三角函数值，三角函数图像上一点作法到一个周期内图像上画法乃至整个定义域上图像画法等都遵循了由特殊到一般思维方法。学好余弦函数图像与性质最有效方法是与正弦函数图像与性质进行类比。 　　下面，笔者对本章教学内容，从学习准备、教学剖析、教学过程及例题处理等方面，分节给出教学建议。 　　一、5.1角概念推广（2课时） 　　在学习了角概念基础上，本节学习将进行角概念推广。在初中，角定义是有公共端点两条射线组成图形，角范围是0°～360°。 　　为了研究方便，常将角放在平面直角坐标系中，一般将角顶点与坐标原点重合，角始边与X轴正半轴重合。这样对所有角来说，角顶点、始边是相同，区别仅在终边，而终边位置就决定了它是哪个象限角。 　　锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角；钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角。 　　由“问题解决”可归纳出一般结论： 　　若α是第一象限角，则α/2是第一或第三象限角；若α是第二象限角，则α/2是第一或第三象限角；若α是第三象限角，则α/2是第二或第四象限角；若α是第四象限角，则α/2是第二或第四象限角。 　　二、5.2弧度制（1课时） 　　本节学习是在初中学习角度制基础上进行。首先要引导学生回顾角度制规定：一个周角1/360叫做一度。 　　在此基础上通过多种形式教学活动使学生理解：弧度制是一种新度量角单位制。一个角弧度数就是这个角（以角顶点为圆心，任意长为半径圆圆心角）所对弧长度与半径比值，关键是要掌握弧度与角度换算基本关系式：360°=2π（rad）或180°=π（rad）。 　　三、5.3任意角三角函数（2课时） 　　本节学习是在初中角正弦函数、余弦函数、正切函数等概念基础上进行。在初中，学生是通过直角三角形边比值来规定角三角函数值：对于一个直角三角形锐角，其正弦值为对边与斜边比值，余弦值为邻边与斜边比值，正切值为对边与邻边比值。现在对任意角，分别用三个比值y/r、x/r、y/x来规定，它们都只与角终边所在位置有关，而与点P在角终边上具体位置无关。 　　从“问题解决”中，我们可以得出结论： 　　一个角终边与单位圆交点纵坐标就等于这个角正弦；与单位圆交点横坐标就等于这个角余弦；与单位圆交点纵坐标与横坐标比值就等于这个角正切。 　　由讨论可知，对于任意角α，它正弦、余弦都有意义（因为