基于“构造法”的高中数学题思路探索.doc

第 PAGE 页 基于“构造法”高中数学解题思路剖析 　　前言 　　在新课程改革背景下，高中数学教学过程中应注重帮助学生从数学学习中发现其中数学思维与方式。因此对高中数学解题思路中构造法应用研究具有十分重要意义。 　　一、构造法基本概述 　　（一）构造法概念界定 　　关于构造法概念界定，以往许多数学家与学者对其理解为以固定方式通过一定步骤便可获取结果方式。换言之，高中数学解题过程中学生思考方式多以正向思维为主，在给定条件下进行问题解决。但这种正向思维方式并不适用于所有问题解决，所以通过思考角度或思维方向转换，使问题中障碍得以跨过，这种方式便为解题中应用构造法。相比一般逻辑方法，构造法作为非常规思维，要求学生具备基本知识结构基础并具有敏锐洞察力。 　　（二）高中数学解题中构造法应用意义 　　构造法应用过程中通常会将原有题型作为基础，通过假设相应结论或条件使数学中理论知识、方程公式等能够形成与问题相对应数学模型。因此这种能够用“已知”代替“未知”化归手段为数学解题过程带来新路径。 　　二、高中数学解题中构造法实际应用策略 　　（一）从方程构造角度 　　作为高中数学中较为重要内容，方程式学习过程中多与函数知识保持一定关系。由此可引入常用构造方法，即方程构造。具体应用过程中主要根据问题中体现结构特征与数量关系，构建等量性方程式，以此实现对方程式等量关系以及未知量间存在关系。而且通过恒等式变形，可将问题中内容由抽象化向特殊化、实质化过度，促进学生解题质量以及解题速度提高，对学生思维与观察能力进行培养。以具体习题为例，设agt;bgt;c且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b范围。 　　解：由a+b+c=1得a+b=1-c （1） 　　 将（1）两边平方并将a2+b2+c2=1代入得ab=c2-c （2） 　　由（1）（2）可知，a，b是方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0两个不等实根 　　 于是△=（c-1）2-4（c2-c）=-3c2+2c+1gt;0 　　 解得：-lt;clt;1 即：-lt;1-（a+b）lt;1 　　∴1lt;a+blt;。 　　（二）从函数构造角度 　　高中数学题中函数属于较为基本知识内容，不仅与方程存在较为密切关系，而且在许多集合类型或代数类型等习题出中可发现函数思想。因此利用函数构造方式能够利用简单函数问题代替复杂数学难题，而且在转化过程中也可培养学生创造性思维。以2019年南京数学学校“紫金杯”数学竞赛以题为例：已知f（x）=x2+（a2+b2-1）x+a2+2ab-b2是偶函数，则函数图象与y轴交点纵坐标最大值是___。 　　剖析：由已知f（x）是偶函数可知，a2+b2-1=0，故可联想到三角函数关系式并构造a=cosθ，b=sinθ，函数图象与y轴交点纵坐标为a2+2ab-b2，则 　　a2+2ab-b2=cos2θ+2sinθcosθ-sin2θ=cos2θ+sin2θ≤ 　　构造函数方法在导数题中也常见，例如（2019北京，理18）设L为曲线C：y=在点（1，0）处切线。 　　（1）求L方程; 　　（2）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线L下方。 　　解：（1）设f（x）=，则f′（x）=。 　　所以f′（1）=1。 　　所以L方程为y=x-1。 　　（2）令g（x）=x-1-f（x），则除切点之外，曲线C在直线L下方等价于g（x）0（？坌x0，x≠1）。 　　g（x）满足g（1）=0，且g′（x）=1-f′（x）=。 　　当01时，x2-10，lnx0，所以g′（x）0，故g（x）单调递增。 　　所以，g（x）g（1）=0（？坌x0，x≠1）。 　　所以除切点之外，曲线C在直线L下方。 　　（三）图形构造角度 　　除方程构造与函数构造方法外，高中数学解题中常用到图形构造方式。 　　例 求函数f（x）+最小值 　　剖析：f（x）=+ 　　其几何意义是平面内动点P（x，0）到两定点 　　M（2，3）与N（5，-1）距离之与（如图1）。 　　为求其值域只要求其最值即可， 　　易知当M，N，P三点共线（即P在线段MN上）时， 　　 f（x）取得最小值，f（x）min=|MN|==5，故得函数最小值为5。 　　三、结论 　　数学作为高中学科重要组成部分，学生在面对其中大量数学题组很容产生厌学感。对此教师应注重构造法引用，通过构造法中向量构造、图形构造、方程构造以及函数构造等方式使学生解题更加容易，也因此促进学生思维能力与创新能力提高。 希望以上资料对你有所帮助，附励志名言十条： 1、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。 2、推销产品要针对顾客的心，不要针对顾客的头。 3、不同的