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精选名师资料第一章行列式一.行列式的定义和性质1. 余子式MAij和代数余子式的定义ij2.行列式按一行或一列展开的公式nn1)AaijaijAij, j1,2,n;(AaijaijAij, i1,2,n)nni1j1nnkkjjkkiiA0A02)aij Aik;aijAkji 1j 1测试点行列式的任意一行( 列 ) 与另一行 ( 列 ) 元素的代数余子式的乘积之和为零.3.行列式的性质ATA .1)2
精选名师资料
第一章
行列式
一.行列式的定义和性质
1. 余子式
M
Aij
和代数余子式
的定义
ij
2.行列式按一行或一列展开的公式
n
n
1)
A
aij
aij
Aij
, j
1,2,
n;(
A
aij
aij
Aij
, i
1,2,
n)
n
n
i
1
j
1
n
n
k
k
j
j
k
k
i
i
A
0
A
0
2)
aij Aik
;
aij
Akj
i 1
j 1
测试点
行列式的任意一行
( 列 ) 与另一行 ( 列 ) 元素的代数余子式的乘积之和为零
.
3.行列式的性质
AT
A .
1)
2)用数 k 乘行列式的某一行(列)所得新行列式=原行列式的
3)互换行列式的任意两行(列)所得新行列式等于原行列式的相反数
k 倍 . 推论
. 推论
4)如果行列式中两行(列)对应元素成比例,则行列式值为
0.
5)行列式可以按任一行(列)拆开
.
k 倍加到另一行(列)上,所得新行列式与原行列式的值相等
6)行列式的某一行(列)的
.
a1 b1
a 2 b2
a1
a2
c1
c 2
a1
a 2
b1
b2
c1
c2
例 设行列式
=1,
=2,则
=(
3 )
二.行列式的计算
1.二阶行列式和三角形行列式的计算
.
2. 对一般数字行列式,利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算
.
3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况,用这一行或一列展开
.
4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型
.
5. 范德蒙行列式的计算公式
123
249
367
23
49
67
3
9
7
100
200
300
23
49
67
3
9
7
100
200
300
20
40
60
3
9
7
例 ( 性质 4)
0.
(1) ( 1)(2)
(2) ( 1)(3)
例 (各行元素之和为常数的行列式的计算技巧)
精品学习资料
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精选名师资料xax a aaa x aaa a xxx x x3a3a 3a 3aax a aaa x aaa a xx3a000aa0aaa axa003D( x3a)( xa) .00xa0xa例 (行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算)a00ba 00b a000000n1nn1 nDn= aA11bAn1 = aM11 +b(1)Ma(1)bn10b00
精选名师资料
x
a
x a a
a
a x a
a
a a x
x
x x x
3a
3a 3a 3a
a
x a a
a
a x a
a
a a x
x
3a
0
0
0
a
a
0
a
a
a a
x
a
0
0
3
D
( x
3a)( x
a) .
0
0
x
a
0
x
a
例 (行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算)
a
0
0
b
a 0
0
b a
0
0
0
0
0
0
n
1
n
n
1 n
Dn
= aA11
bAn1 = aM11 +b(
1)
M
a
(
1)
b
n1
0
b
0
0
0
0
a
0
b
a
x2
4
9
16
x3 8
27
64
1
x
2
3
4
1
1
1
2
3
4
4
9
16
1
1
1
3
中, x 项的系数
1)5
例
D(x)
A
(
(3
2)(4
2)(4
3)
2
14
第二章
矩阵
一、矩阵的概念
1. 要弄清矩阵与行列式的区别
2. 两个矩阵相等的概念
3. 几种特殊矩阵(
二、矩阵的运算
0 矩阵,单位阵,三角阵,对角阵,数量阵)
1. 矩阵 A, B 的加、减、乘有意义的充分必要条件
2.矩阵运算的性质
比较矩阵运算(包括加、减、数乘、乘法等)的性质与数的运算性质的相同点和不同点(加法的交换律和结
合律;乘法关于加法的分配律;
) 重点是矩阵乘法没有交换律
(由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式
的不同点 .
( A B)2
A2 +AB
B2
A B ;
B)( A - B) A2 +BA - AB - B2 ;
BA
;( A
k
k
k
2
2
( AB)
ABAB AB
( A
E)
A
2 A
E
1
1
1
1
2
2
2
2
如果 AB
O ,可能 A
O, B
O. 例
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