高等数学下13 6幂级数的应用.ppt

近似计算 欧拉公式 13.6 幂级数的应用 内容 微分方程的幂级数解 一、近似计算 例1 计算 的近似值 ,使准确到 解 在本章第四节例7中已知 由交错级数判别法知，若 其误差 欲使得 只需 解得 取 此时， 有没有简单 一点的方法？ 例1 （续）计算 的近似值 ,使准确到 解 故 令 得 于是有 交集 在上述展开式中取前四项, 其误差 例2 计算定积分 的近似值, 精确到 解 由 故可取前5项作为积分 的近似值，从而 二、欧拉(Euler)公式 就称 ① 收敛于 绝对收敛 收敛 . 若 收敛, 若 对复数项级数 ① 绝对收敛 就称 ① 绝对收敛. 由于 , 故知 定义: 复变量 的指数函数为 由于 当z=x时, 它与实指数函数 当z=ix时, 的幂级数展式一致. （欧拉公式） 收敛， 所以 在复平面上绝对收敛. （也称欧拉公式） 利用欧拉公式可得复数的指数形式 则 （欧拉公式） 数学中的天桥 欧拉公式的几个简单应用 (德莫弗公式) 当n=2时, 所以 同理可得n倍角公式，以及两角和与两角差公式. 即 世界上最伟大的十个公式——排名第一，最完美的公式！ 英国科学期刊《物理世界》 三、微分方程的幂级数解 又 例3 求微分方程 的幂级数解. 解 设幂级数解 代入原方程后有 即 比较两端幂级数的系数，有 将上式代入 并整理得幂级数形式通解为 其中C为任意常数. 欧拉 (1707 – 1783) 瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 分学原理 》, 《积分学原理》等, 为分析学的重 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理. * 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. * 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回.