平面向量常见题型汇编(含答案).docx

PAGE PAGE # PAGE PAGE # 平面向量常见题型汇编 利用平面向量待定系数求参数值 例题1:在正方形 例题1:在正方形ABCD中, uuir M ,N分别是BC,CD的中点，若AC uuuu uur AM BN ，贝V 的值为（ ） 解析：设正方形的边长为 2 解析：设正方形的边长为 2，以点A为原点, AB,AD分别为x, y轴，建立平面直角坐标 A 0,0 , B 2,0 ,C A 0,0 , B 2,0 ,C 2,2 ,M 2,1 , N 1,2 ，所以Ac 2,2 uuuu uuir 2 2 6 2 8 AM 2,1 , BN 1,2，所以｛ ，解得 2 2 5 5 5 系， 变式1:如图，两块斜边长相等直角三角板拼在一起.解析：以AB所在直线为 变式1:如图，两块斜边长相等直角三角板拼在一起. 解析：以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，令 AB= 2, ••• AD = xAB+ yAC ,••• (2 + ；3, 3) = (2x,2y)，即有 2+ 3= 2x, .3= 2y, 解得 若 AD = xAB + yAC,贝V x = y= 则AB = (2,0), AC = (0,2)，过D作DF丄AB交AB的延长线于 F, 由已知得 DF = BF = ,3 则 AD = (2 + ■, 3, 3). 向量基本定理与不等式，、三角函数相结合 例题2：在RtABC中， A 90°，点 例题2： 在Rt ABC中， A 90°，点D是边BC上的动点，且 ULUV UK uuu/ uuuv AD AB AC( 0, 0)，则当 取得最大值时， AD 解析：由 A 900可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系, 其中A 0,0 , B 3,0，C 0,4 uuuv uuur uuu/ •/ AD AB AC( 0, 0) ••• 1 2 ~，即 -当且仅当 1 -时取等号 4 2 imr uuu uur I uuu I uur 1 1 3 AD AB AC -AB - AC - 3,0 — 0,4 — ,2 2 2 2 2 2 5 的值为 uuir 二 AD 22 2 uuuv 3 5 AC 4, AB £ -1 uuu uuu uur r 变式2：已知点A在线段BC上（不含端点），0是直线BC外一点，且OA 2a0B bOC 0 , 则一社空的最小值是 a 2b 1 b 分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思 路是如何应用均值不等式或其他重要不等式， 很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思 路去思考，本题根据条件构造2a b 1，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件, 应用均值不等式. 解析： uuu 由OA uuu 2aOB uuur r bOC 0可得， uuu OA uuu uuur 2aOB bOC , 根据A、B、C三点共线可 得2a b 1 ，且 a 0,b 0, 所以- a 2b a a 2b ’ 1 2b 2a 2b 2 a b a M 2 2.2 2 a i 2b 1 b a 2b 2a b b a 2b a b 所以最小值为 2,2 2 ，故填2.2 2 . uuu uur 变式3:给定两个长度为1的平面向量OA,OB，它们的夹角为120o.如图1所示，点C在以 ullto为圆心的圆弧 ullt o为圆心的圆弧 Ab上变动 若oc uur xOA uuu yOB,其中x,y R，则x y的最大值是 思考方向一：考虑特值法 uuir 解法1当C与A重合时，OC 1 uuu OA 0 uuu OB, x y 1, uuu uuu 当C与B重合时，OC 0 OA 1 uuu OB, x 当c从Ab的端点向圆弧内部运动时, 于是猜想当c是Ab的中点时，x y取到最大值. 当c是Ab的中点时，由平面几何知识 OACB是菱形， 1 2.uuir mu uuu 1 2. :.Oc OA OB, :. x y 猜想x y的最大值是2. 思考方向二：考虑坐标法 AOC 建立如图 3 , 3 ,),C(cos 2 uur uuu xOA yOB可化为: 直角坐 标系，设 A(1,0),B( ,sin ). uuiT 于是OC (cos ,sin ) 1 J3 x(1,0) y( 22 cos sin 1 x 2y, 暑(1 2) 解法2:函数法求最值 cos 由方程组（1）得: ••• x y 3si n cos 2sin( 30o), 又0o 120o,「.当 30O 时，(x y)max 2. 解法3:不等式法求最值 由方程组（ 1）得: 1 ・2 sin 2 cos 2 2 / x y xy (