北京大学2016-2017学年第2学期高等数学a期末考试试卷(20201120191333).docx

北京大学高等数学 A期末考试试卷 2016?2017学年第2学期 考试类型：（闭卷）考试 学号 姓名 考试科目：高等数学 A 考试时间： 120 分钟 年级专业 题号 二 三 L 四 总分 得分 r 卜 * V 评阅人1 L 1 得分 、填空题（本大题共 小题，每小题3分，共15分） 二元函数 z ln（ y 2. 设向量a (2,1,2) 2x 1)的定义域为 ? 1,10) b (4, b a ，且 a c ，贝y 3. 经过 (4,0, 2) 和(5,1,7) 且平行于x 轴的平面方程为 4. x yz，贝? du 更 5. 级数 —，当P满足 n p 条件时级数条件收敛。 得分 、单项选择题 （本大题共5小题，每小题 3分，共15分） 1.微分方程2（ xy x） y y的通解是 A . y Ce B. Ce2 x C. y 2e2 y Cx D. e2 2 Cxy 2.求极限 B. 1 c. .直线 d. 1 z和平面 :3 x 2 y 7 z 8 0的位置关系是 2 - 2 - y D.直线L b2}，则 2 x D 与平面 2 y d 3、 a ) C. 4 (b 3 a3 ) ■ 3 r y 1 n 1 — C. n 1 n 2 1 n 1 2n 1 D. 3 (b 3 a3) 2 (二) D. n 1 3 n( n 1) C.直线L垂直于平面 是闭区域{( x, y) | a 2 x 2 D 3 3、f 2 八 3 A . (b 3 a)B. (b 2 3 下列级数收敛的是——— ■ ▼ 1 T A . B. n 1 (n 1)(n4) I 得分 三、计算题（本大题共 7小题，每小题7分，共49分） 求微分方程y y ex满足初始条件x 0，y 2的特解 2.计算二重积分x 2.计算二重积分 x y {( x, y) 2 2 1, x y 2 2 dxdy ，其中 D x y 1} D x y 3.设 z z( x, y) 为方程2sin( x 2 y 3z) x 4 y 3z 确定的隐函数，求 z z x y 4.求曲线积分 向。 ( )( )dy ,其中 L 沿 2 2 2( x 0, y 0) I x + y dx *x -yx +y = a 方巴 L ,逆时针 5.计算 Uy5 U x 2 y6 dxdy ，其中D是由y x , x~ 1及y 一1所围成的区域 D 6.判断级数 QO V ，— 1 f (1) n n 1的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛 n 1 n 1 n 7.将函数 1 展开成x的幕级数，并求其成立的区间 (1 x)(2 x) 得分 四、解答题 (本大题共 3小题，每小题2 7分，共 21分) 1.抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与 最短距离。 求幕级数 (1) n nxn的和函数 n 1 ( n 1)! 3. 3. 设函数f ( x) 和g (x) 有连续导数，且f (0) 1 ， g(0) 0， L为平面上任意简 单光滑闭曲线， 取逆时针方向， L围成的平面区域为 D ，已知 yg( x) xydx [ yf ( x) g( x)] dy d ， L 求 f (x) 和 g(x) 042 0 4 2 参考答案 、 填空题（本大题共 5小题， 每小题 3分，共 15分） 1. {( x, y) | + 2 y 2x 1 0} 2. 3 — — = _ + zx yz In + 3. 9 y z 2 0 4. yzx yz 1dx xdy yx yz In xdz 5. 0 p 1 、单项选择题 （本大题共5小题，每小题3分，共15分） 订1.5CM1. C 2 . C 3 . C 4 . B 5 . 订 1.5CM 三、计算题（本大题共 7小题，每小题7分，共49分） 1.求微分方程y y e x满足初始条件x 0，y 2的特解 + = = 一 解：先求y y 0的通解，得y Ge x ?????? 2分 二 — =h ( x)e —- 一 采用常数变易法，设 y h(x)e x，得y x h( x)e x ? ? ? 3分 —_ _ + —= 代入原方程得 h (x)e x h( x)e x h( x)e x ex ?????? 4 分 得 — h( x) 1 e2x C ?????? 5 分 故通解为y ex 2 Ce x ? ? ? ? ? ? 6 = =— 分 将初始条件x 0 , y 2带入得 C 3 ，故特解为y 2 r + ■ i ■r i 1 + x y 2.计算二重积分 . 产x2 0 —2 dxdy y丄 其中 {( x, y): D x ex 3 e x ? ? ? ? 7 分