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超越方程的一般解法
林文业
湛江公路工程大队 邮编 :52400 电话 0668-8322239
摘 要 : 一 般 的 超 越 方 程 经 过 变 换 , 都 可 以 化 为 如 此 形 式 x f x a , 例 如
x 2
x e a , x sin x x a ,其中 a 为实数 ,如果函数 f x 在 x 的某个 邻域 U x , 内存在无
0 0
穷阶不为零的连续导数 ,那么超越方程可以求解 ,并且具有解的一般形式。
关键词 : 一般的超越方程；无穷阶不为零的导数；解的一般形式。
一.解法基本定理
定 理 : 如 果 函 数 f x 在 x 的 某 个 邻 域 U x , 内 存 在 无 穷 阶 不 为 零 的 连 续 导 数 , 且
0 0
x 、x x 、 、x x x U x , ,那么级数
0 0 1 0 1 m 0
x f x f x x f x f x x x f x x f x x x f x x x
0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 m 1 0 1 m 2
在 U x0 , 上一致收敛。
证明 : 由于函数 f x 在 x 的某个 邻域 U x , 内存在无穷阶不为零的连续导数 ,且
0 0
x 、x x 、 、x x x U x , ,因而根据泰勒展开有
0 0 1 0 1 m 0
m
f x0 2 f x0 m
f x0 x1 f x0 f x0 x1 x1 x1
2！ m ！
m
f x0 x1 2 f x0 x1 m
f x0 x1 x2 f x0 x1 f x0 x1 x2 x2
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